Matematika modul peminatan

Matematika modul peminatan · Bab 2 Vektor

23/08/2021 08:31:08

SMA 10 K-13

Daftar Isi

Bab 1 Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Bab 2 Vektor

Halaman

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN2VEKTORMATEMATIKA PEMINATANKELASXPENYUSUNEntis Sutisna, S.Pd.SMA Negeri 4 Tangerang

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN3DAFTAR ISIPENYUSUN....................................................................................................................................................2DAFTAR ISI...................................................................................................................................................3GLOSARIUM..................................................................................................................................................5PETA KONSEP..............................................................................................................................................6PENDAHULUAN..........................................................................................................................................7A.Identitas Modul...........................................................................................................7B.Kompetensi Dasar.......................................................................................................7C.Deskripsi Singkat Materi............................................................................................7D.Petunjuk Penggunaan Modul......................................................................................7E.Materi Pembelajaran...................................................................................................8KEGIATAN PEMBELAJARAN 1............................................................................................................9Pengertian dan Lingkup Vektor pada Bidang Datar.................................................................9A.Tujuan Pembelajaran..................................................................................................9B.Uraian Materi..............................................................................................................9C.Rangkuman...............................................................................................................19D.Latihan Soal..............................................................................................................20E.Penilaian Diri............................................................................................................24KEGIATAN PEMBELAJARAN 2..........................................................................................................25Operasi Vektor pada Bidang (R2).....................................................................................................25A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................25B.Uraian Materi............................................................................................................25C.Rangkuman...............................................................................................................33D.Latihan Soal..............................................................................................................33E.Penilaian Diri............................................................................................................36KEGIATAN PEMBELAJARAN 3..........................................................................................................37Ruang Lingkup Vektor pada Bangun Ruang...............................................................................37A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................37B.Uraian Materi............................................................................................................37C.Rangkuman...............................................................................................................42D.Latihan Soal..............................................................................................................43E.Penilaian Diri............................................................................................................47KEGIATAN PEMBELAJARAN 4..........................................................................................................48Operasi Vektor Pada Bangun Ruang...............................................................................................48A.Tujuan Pembelajaran................................................................................................48

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN4B.Uraian Materi............................................................................................................48C.Rangkuman...............................................................................................................57D.Latihan Soal..............................................................................................................58E.Penilaian Diri............................................................................................................61EVALUASI....................................................................................................................................................62DAFTAR PUSTAKA..................................................................................................................................69

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN5GLOSARIUMBesaran vektor :Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Vektor dapat dinyatakan sebagai segmen garis berarah, di mana panjang segmen menyatakan besar vektor dan arah anak panah menyatakan arah vektor.Vektor pada bidang koordinat Cartesius:Vektor pada bidang koordinat Cartesius mempunyai dua komponen, yaitu komponen horisontal (sejajar sumbu X) dan komponen vertikal (sejajar sumbu Y). Jika diberikan komponen-komponen suatu vektor maka vektor tersebut dapat digambar dan dapat ditentukan besarnya.Modulus vektor :Adalah besar dari vektor yang merupakan panjang segmengaris berarah yang menyatakan vektor tersebut.Vektor posisipada R2:Adalah vektor dengan pangkal di titik O(0,0). Dua vektor dikatakan sama jika kedua vektor tersebut mempunyai besar (modulus) dan arah yang sama.Vektor negatif:Vektor yang besarnya sama dengan 𝑢⃗tetapi arahnya berlawanan dengan𝑢⃗dikatakan vektor negative 𝑢⃗dan dilambangkan −𝑢⃗.Vektor nol:Vektor nol adalah vektor yang besarnya nol dan tidak mempunyai arah. Vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1.Aturan segitiga:Yaitu menghimpitkan ujung vektor pertama dengan pangkalvektor kedua, hasilnya adalah vektor dengan pangkal vektorpertama dan ujung vektor kedua.Aturan jajaran genjang: Yaitu dengan menghimpitkan pangkal kedua vektor 𝑢1⃗⃗⃗⃗dan𝑢2⃗⃗⃗⃗. Jumlah atau resultan kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang sisi-sisinya adalah𝑢1⃗⃗⃗⃗dan𝑢2⃗⃗⃗⃗.Modulus vektor pada bagun ruang:Yaitu besar dari vektor yang merupakan panjang segmen garis berarah yang menyatakan vektor tersebut.Vektor posisipada R3:Adalah vektor yang menyatakan kedudukan setiap titik di ruang koordinat Cartesius. Vektor posisi berpangkal di titikO(0,0,0) dan berujung di titik pada ruang koordinat.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6PETA KONSEPVEKTOR DI BIDANG (R2) DAN VEKTOR DI RUANG (R3)OPERASI VEKTORPROYEKSI VEKTOR PADA VEKTOR LAINVEKTOR POSISIVEKTOR SATUANKESAMAAN DUA VEKTOR PENJUMLAHANPENGURUANGNPERKALIANSKALAR DENGAN VEKTOR PERBANDINGANPERKALIANSKALAR DUA VEKTOR ATURAN JAJARGENJANGATURAN SEGITIGASUDUT ANTARA DUA VEKTOR

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN7PENDAHULUANA.Identitas ModulMata Pelajaran: Matematika PeminatanKelas:XAlokasi Waktu:30jam pelajaranJudul Modul:Vektor B.Kompetensi Dasar3.2 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga4.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga.C.Deskripsi Singkat MateriSalam jumpa melalui pembelajaran matematika dengan materi Vektor. Modul ini disusun sebagai satu alternatif sumber bahan ajar siswa untuk memahami materi Vektor di kelas X peminatan. Melalui modul ini Andadiajak untuk memahami konsep vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tigadan dapat menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan Vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga.Aplikasi vektor dalam kehidupan nyata banyak digunakan di bidang teknik sipil, vektor digunakan dalam rancang bangun dasar arsitektur untuk perhitungan panjang, sudut, dan letak; menentukan komponen-komponen dasar di dalam bangunan tersebut; mengetahui perhitungan pasti dari rangka bangunan, contoh : penempatan pilar pondasi; menentukan garis siku-siku dilapangan, garis siku-siku di lapangan banyak dilakukan dengan memanfaatkan dalil phytagoras; menentukan kekuatan gaya yang bekerja pada struktur bangunan di atas tanah, perhitungan arah vektor gaya dimaksudkan untuk mencegahterjadinya keruntuhan bangunan; menghitung momen balok dan dimensi balok; sebagai dasar penentuan perhitungan kemiringan atap; dan mengukur tinggi gedung dan memperkirakan tinggi pembangunan gedung dengan memperhitungkan sudut elevasi dan sudut pandang bangunan. Bidang lain pun konsep vektor banyak digunakan.D.Petunjuk Penggunaan ModulModul ini dirancang untuk memfasilitasi Andadalam melakukan kegiatan pembelajaransecara mandiri. Untuk menguasai materi ini dengan baik, ikutilah petunjuk penggunaan modul berikut.1.Berdoalah sebelum mempelajari modul ini.2.Pelajari uraian materi yang disediakan pada setiap kegiatan pembelajaran secara berurutan. 3.Perhatikan contoh-contoh penyelesaian permasalahan yang disediakan dan kalau memungkinkan cobalah untuk mengerjakannya kembali.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN84.Kerjakan latihan soal yang disediakan, kemudian cocokkan hasil pekerjaan Andadengan kunci jawaban dan pembahasan pada bagian akhir modul.5.Jika menemukan kendala dalam menyelesaikan latihan soal, cobalah untuk melihat kembali uraian materi dan contoh soal yang ada.6.Setelah mengerjakan latihan soal, lakukan penilaian diri sebagai bentuk refleksi dari penguasaan Andaterhadap materi pada kegiatan pembelajaran.7.Di bagian akhir modul disediakan soal evaluasi, silahkan mengerjakan soal evaluasi tersebut agar Andadapat mengukur penguasaan terhadap materi pada modul ini. Cocokkan hasil pengerjaan dengan kunci jawaban yang tersedia.8.Ingatlah, keberhasilan proses pembelajaran pada modul ini tergantung pada kesungguhan Andauntuk memahami isi modul dan berlatih secara mandiri.E.Materi PembelajaranModul ini terbagi menjadi 4kegiatan pembelajaran dan di dalamnya terdapat uraian materi, contoh soal, soal latihan dan soal evaluasi.Pertama :Pengertia dan Lingkup Vektor pada Bidang DatarKedua : Operasi Vektor pada Bidang (R2)Ketiga: Ruang Lingkup Vektor pada Bangun RuangKeempat: Operasi Vektor Pada Bangun Ruang

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN9KEGIATAN PEMBELAJARAN 1Pengertian dan Lingkup Vektor pada Bidang DatarA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 1 ini diharapkan Andadapat mengetahui pengertian vektor dan ruang lingkup vektor yang meliputi: 1.Komponen-komponen dari vektor.2.Menuliskan notasi-notasi vektor.3.Menggambarkan vektor apabila diberikan komponen-komponennya.4.Kesamaan dua vektor.5.Vektor nol.6.Vekktor posisi.7.Vektor satuan.B.Uraian MateriPengertian Vektor Pada Bidang DatarKetika Andasedang melakukan perjalanan ke suatu tempat pasti Andasering menemukan papan petunjuk arah seperti papan petunjuk arah berikut:Gambar 1.1 Papan Petunjuk Arah.Untuk sampai pada kota yang diinginkan pengguna jalan harus mengikuti arah dan menempuh jarak yang ditentukan. Misalnyauntuk mencapai kota Bandar Lampung, Andaharus membelok ke arah kiridan menempuh jarak sejauh 8km dari lokasi papan petunjuk tersebutatau kalau Andamau ke kota Palembang, Andaharus membelok ke kanan dan menempuh jarak sejauh 360 km dari papan petunjuk.Dengan demikian ada dua hal yang harus diperhatikan, yaitu arah dan jarak (besar) yang harus ditempuh. Pernahkah Andamelihat lembing yang meluncur di udara saat dilempar oleh atlet lempar lembing? Atau anak panah yang terlepas dari busurnya saat seorang atlet memanah ke arah papan sasaran? Lembing atau anak panah tersebut meluncur dengan kecepatan dan arah tertentu sesuai dengan keinginan sang atlet.Hal yang sama ketika Andamelihat tentara terjun payung atau anak kecil main jungkitan di taman.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN10Gambar 1.2. Lempar Lembing Gambar 1.3. MemanahSumber: www.https://darunnajah.comGambar 1.4Terjun payung Gambar 1.5 Anakkecil main JungkitanSeluruh ilustrasi yang Andabaca di atas berkaitan dengan arah dan jarak. Tentang arah dan jarak sudah Andapelajari waktu di SMP dalam pelajaran IPA Fisika. Banyak contoh besaran fisika yang memiliki arah dan besar seperti uraian di atas, antara lain: kecepatan, percepatan, gaya, dan sebagainya.Besaran yang mempunyai arah dan besar biasanya dinyatakan dengan ruas garis berarah. Ruas garis berarah tersebut dinamakan vektor. Konsep vektor pada IPA Fisika adalah besaran yang mempunyai besar dan arah. Besaran yang hanya memiliki besar saja disebut skalar, seperti berat, panjang, luas dan lain-lain. Sementara itu konsep vektor dalam metematika adalah ruas garis berarah yang panjangnya adalah jarak dari titik pangkal ke titik ujung dan arahnya adalah arah dari pangkal ke ujung atau perpanjangannya. Panjang ruas garis berarah menyatakan besar vektor, sedangkan arah vektor dinyatakan oleh kemiringan ruas garis dan anak panahnya. Dalam kehidupan sehari-hari vektor banyak digunakan dalam berbagai aktivitas dan berbagai bidang kehidupan. Vektor sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari seperti dalam bidang teknik sipil, navigasi, militer dan lain-lain.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN11Gambar 1.6Sumber: (1)https://www.google.co.id/search?q=penerapan+vektor+dalam+teknik+sipil(2)https://fisikakelompok7.blogspot.comGambar 1.6.(1) Contoh pemanfaatn vektor dalam teknik sipil dan gambar 1.6.(2) dalam bidang navigasi.Untuk lebih memahami masalah vektor, coba Andalakukan aktivitas berikut:1.Gambarlah sebuah ruas garis pada selembar kertas!2.Berilah tanda panah padaujung ruas garis tersebut ini!3.Sebut titik pangkal ruas garis sebagai titik P dan titik ujungnya sebagai titik Q.4.Ukurlah panjang ruas garis dengan menggunakan penggaris!5.Diskusikan dengan temanmu!6.Apa yang dapat disimpulkan dari aktivitas ini?Ruas garis berarah yang Andagambar pada kegiatan ini mewakili sebuah vektor. Panjang garis yang diukur menggunakan penggaris menunjukkan panjang vektor tersebut. Karena titik pangkal P dan titik ujung Q, maka vektor disebut sebagai vektor PQ⃗⃗⃗⃗⃗dan panjang vektor PQ⃗⃗⃗⃗⃗dilambangkan dengan |PQ⃗⃗⃗⃗⃗|. Selain cara di atas, sebuah vektor dapat pula ditulis menggunakan:➢huruf kecil yang dicetak tebal.Seperti a, b, c, dan sebagainya. Misalnya, vektor PQ⃗⃗⃗⃗⃗di bawah ditulis sebagai vektor a.Q𝒂P➢huruf kecil yang di atas huruf itu dibubuhi tanda panah.Seperti 𝑎,⃗⃗⃗𝑏⃗, 𝑐dan sebagainya. Misalnya vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗dapat ditulis sebagai vektor 𝑎.P𝒂⃗⃗Q

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN12➢huruf kecil yang di bawah huruf itu dibubuhi tanda garis (garis bawah).Seperti u, v, wdan sebagainya. Misalnya vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗dapat ditulis sebagai vektor u.QuPUntuk selanjutnya dalam modul ini akan digunakan penulisan vektor dengan tanda panah di atas. Vektor yang Andagambarkan di atas adalah contoh penyajian vektor secara geometris. Dalam matematika, vektor dapat disajikan secara geometris dan aljabar.KomponenVektorDiantara Andapasti ada yang pernah bermain gamemenggunakan playstation, seperti gamesepak bola? Ketika bermain gamesepakbola Andaakan menggerakkan pemain di layar televisi dengan menggerakkan tombol-tombol ke kanan, kiri, atas, bawah, serong kanan bawah, serong kiri atas dan sebagainya. Untuk memindahkan pemain ke arah kanan atas, Andadapat melakukannya dengan menekan tombol kanan, diikuti dengan menekan tombol atas atau dengan menekan tombol atas, diikuti dengan menekan tombol kanan.Cara lain yang lebih cepat adalah dengan menekan tombol kanan dan tombol atas secara bersamaan.Gambar 1.7 Game Sepak Bola.Sumber: https://www.yagaming.id/game-sepak-bola-offline-android/Layar televisi dapat kita umpamakan bidang datar yang dapat digambarkan dengan bidang koordinat Cartesius XOY. Pemain-pemain sepakbola merupakan titik-titik yang dapat dipindahkan pada bidang XOY. Pemain sepakbola dapat berpindah letak ke segala arah dengan cara seperti uraian di atas. Pada prinsipnya setiap perpindahan letak pemain dapat ditentukan oleh dua komponen, yaitu gerakan ke kanan/kiri dan gerakan ke atas/bawah. Perpindahan letak pemain sepakbola itu merupakan suatu vektor.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN13Vektor yang digambarkan pada bidang koordinat mempunyai komponen horisontal (gerakan ke kanan/kiri) dan komponen vertikal (gerakan ke atas/bawah).Contoh 1:Gambar 1.8. Vektor PQKomponen horisontalvektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗sebesar xQ–xP, sedang komponenvertikalvektor𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗sebesar yQ–yP.Dalam bentuk aljabar, vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗dapat dinyatakan dalam bentuk matriks kolom:𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐾𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝐻𝑜𝑠𝑟𝑖𝑠𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝐾𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙)=(𝑥𝑄−𝑥𝑃𝑦𝑄−𝑦𝑝)Dalam bentuk pasangan berurut: 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑥𝑄−𝑥𝑃,𝑦𝑄−𝑦𝑝)Atau dalam bentukvektorbasis : 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎1𝑖+𝑏1𝑗Contoh 2:Coba Andaperhatikan gambar vektor berikut.Gambar 1.9. Vektor AB dan DE𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐾𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝐻𝑜𝑟𝑖𝑠𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙𝐾𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙)Komponen horisontal: {kekanantandanyapositifkekiritandanyanegatifKomponen vertikal: {keatastandanyapositifkebawahtandanyanegatif𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐴ke𝐶terus𝐶ke𝐵)=(kekanan4keatas3)=(43)𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(𝐷ke𝐹terus𝐹ke𝐸)=(kekiri4keatas)=(−43)

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN14Jika vektor𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝒂𝒃), maka panjang vektor𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗adalah: |𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = √𝒂𝟐+𝒃𝟐Panjang (Modulus) VektorCoba Andaperhatikan kembali gambar berikut:Vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗, 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗dan 𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗membentuk segi tiga siku-siku. Panjang vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗bisa kita hitung dengan menggunakan rumus Pythagoras.Panjang 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗= |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗| = √(|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|)2+(|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|)2=√42+32=√25=5Panjang 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗= |𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗| = √(|𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗|)2+(|𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗|)2=√(4)2+32=√25=5Secara umum jika vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑎𝑏), maka panjang vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗dapat dinyatakan:Panjang 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗= |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗| = √𝑎2+𝑏2Sekarang, perhatikan sebarang titik A(a1, a2) dan titik B(b1, b2) pada koordinat Cartesius berikut.Gambar 1.10.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN15Pada gambar di atas, vektor 𝑎mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0, 0) ke titik A(a1, a2). Oleh karena itu, vektor 𝒂⃗⃗dapat Andatuliskan dalam bentuk vektor kolom 𝑎=(𝑎1𝑎2). Adapun vektor 𝒃⃗⃗mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0, 0) ke titik B(b1, b2). Vektor 𝒃⃗⃗dapat Andatuliskan sebagai 𝑏⃗=(𝑏1𝑏2)Dengan menggunakan rumus jarak, Andadapat menentukan panjang vektor 𝒂⃗⃗dan 𝒃⃗⃗, yaitu:Panjang vektor 𝒂⃗⃗= |𝒂⃗⃗|=√𝒂𝟏𝟐+𝒂𝟐𝟐Panjang vektor 𝒃⃗⃗= |𝒃⃗⃗|=√𝒃𝟏𝟐+𝒃𝟐𝟐Sekarang Andaperhatikan vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗. Vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗kita dapatkan dengan cara menarik garis dari titik Ake titik B. Seperti yang sudah dipelajari sebelumnya, vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗dapat dinyatakan dalam bentuk vektor kolom 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗= (𝑏1−𝑎1𝑏2−𝑎2). Panjang vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗adalah:|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗| = √(𝑏1−𝑎1)2+(𝑏2−𝑎2)2Contoh 3:Diketahui segitiga OABdengan koordinat titik O(0, 0), A(2, 4) dan B(6, 1).Tentukan:a.Vektor 𝑎yang mewakili ruas garis dari titik Oke titik A.b.Vektor 𝑏⃗yang mewakili ruas garis dari titik Oke titik B.c.Vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗yang mewakili ruas garis dari titik Ake titik B.d.Panjang vektor 𝑎,𝑏⃗dan 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗.Alternatif Penyelesaian:Gambar 1.11. a.Dari gambar vektor 𝑎mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0, 0) ke titik A(2, 4), jadi vektor 𝑎= (24)b.Vektor 𝑏⃗mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal O(0, 0) ke titik B(6, 1), jadi vektor 𝑏⃗= (61)c.Vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(6−21−4)=(4−3)d.Panjang vektor 𝑎=|𝑎|=√22+42=√4+16=√20=2√5

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN16QSPORYPanjang vektor 𝑏⃗=|𝑏⃗|=√62+12=√36+1=√37Panjang vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√42+(−3)2=√16+9=√25=5Kesamaan Dua VektorDua vektor dikatakan sama jika kedua vektor tersebut mempunyai besar dan arah yang sama.Perhatikan gambar berikut.Gambar 1.12Vektor SamaKeempat vektor pada gambar di atas adalah sama karena mempunyai besar dan arah yang sama.Contoh 4:Diketahui vektor titik-titik P(1,1), Q(4,5), R(–4,–3), S(–1,1).Gambar 1.13Jadi, 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗karena 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗searah 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗dan |𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗|Perhatikan gambar berikut.X

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN17QPSGambar 1.13Vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗dengan 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗sama panjang dan arahnya berlawanan. Vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗dengan 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗merupakan vektor berlawanan dan dapat ditulis : 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗= −𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗atau −𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗= 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗. Komponen vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗= (34)dan komponen vektor 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=(−3−4).Coba Andaperhatikan gambar berikut.Gambar 1.14Vektor-vektor di atas merupakan vektor yang sejajar. Coba Andaperhatikan komponen vektornya.𝑢⃗=(41)𝑤1⃗⃗⃗⃗=(82)=2(41)=2.𝑢⃗𝑤2⃗⃗⃗⃗⃗=(123)=3(41)=3.𝑢⃗𝑤3⃗⃗⃗⃗⃗=(212)=12(41)=12𝑢⃗

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN18𝑤4⃗⃗⃗⃗=(−8−2)=−2(41)=−2𝑢⃗Dari komponen vektor tampak jelas bahwa vektor 𝑤1⃗⃗⃗⃗, 𝑤2⃗⃗⃗⃗⃗, 𝑤3⃗⃗⃗⃗⃗, dan 𝑤4⃗⃗⃗⃗merupakan kelipatan vektor 𝑢⃗. Vektor 𝑤1⃗⃗⃗⃗, 𝑤2⃗⃗⃗⃗⃗, dan 𝑤3⃗⃗⃗⃗⃗, dapat dinyatakan dengan 𝑘.𝑢⃗dengan kskalar yang bernilai positif, sementara untuk 𝑤4⃗⃗⃗⃗dengan kskalar betnilai negatif.Vektor NolSuatu vektor disebut vektor nol apabila panjangnya nol. Arah dari vektor nol tak tentu,misalnya AA⃗⃗⃗⃗⃗, BB⃗⃗⃗⃗⃗, CC⃗⃗⃗⃗, dan semacamnya disebut vektor nol. Vektor noldilambangkan dengan O⃗⃗.Vektor PosisiAndaperhatikan gambar berikut.Gambar 1.15Koordinat titik A(4, 3), titik B(6, 8) dan titik C(-3, 4). Vektor 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗memiliki pangkal titik O dan ujung titik A, vektor 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗memiliki pangkal titik Odan ujung titik B, vektor 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗memiliki pangkal titik Odan ujung titik C. Dari uraian sebelumnya Andasudah mengetahui bahwa ruas garis berarah pada gambar mewakili vektor dengan komponen vektor 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(43), vektor 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(68)dan vektor 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−34). Vektor vektor 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗,𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗dan𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗disebut vektor posisi.Vektor posisi suatu titik dapat dilambangkan sesuai dengan nama titik ujungnyayang ditulis dengan huruf kecil. Vektor posisi titik Aialah 𝑎, Vektor posisi titik Bialah 𝑏⃗,dan seterusnya.Vektor posisi titik A (𝑎1,𝑎2)= 𝑎= (𝑎1𝑎2)Pada bidang koordinat Cartesius, setiap titik P pada bidang dapat dinyatakan sebagai vektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗. Vektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗disebut vektorposisi dari titik P. Koordinat titik P merupakan komponen-komponen dari vektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗. Vektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗dapat dinyatakan sebagai 𝑝.ABC

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN19Vektor SatuanVektor satuanadalah vektor yang panjangnya satu satuan.Vektor satuan dengan arah sumbu X, dinotasikan dengan 𝑖, sehingga vektor𝑖=(10)Vektor satuan dengan arah sumbu Y, dinotasikan dengan 𝑗, sehingga vektor𝑗=(01)Untuk setiap vektor 𝑎yang bukan vektor nol, dapat ditentukan suatu vektor satuan dari vektor 𝑎, dilambangkan dengan 𝑒̂. Vektor satuan arahnya searah dengan vektor 𝑎dan panjangnya sama dengan satu satuan.Jika vektor 𝑎=(𝑎1𝑎2), maka vektor satuan dari vektor 𝑎dirumuskan dengan:ê= 𝑎⃗|𝑎⃗|=1√𝑎12+𝑎22.(𝑎1𝑎2)Contoh5:Diketahui vektor 𝑎=(−34), tentukan vektor satuan yang searah vektor 𝑎!Alternatif penyelesaian:𝑎=(−34)Panjang vektor 𝑎=√−32+42=√25= 5Misalkan vektor satuan yang serah vektor 𝑎adalah ê.ê = 𝑎⃗|𝑎⃗|=1√(−3)2+(4)2.(−34)=15.(−34)=(−3545)C.RangkumanAndatelah mempelajari konsep Vektor. Beberapa hal penting yang telah Andapelajari kita rangkum disini:❖Besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.❖Vektor dapat dinyatakan sebagai segmen garis berarah, di mana panjang segmen menyatakan besar vektor dan arah anak panah menyatakan arah vektor.❖Vektor pada bidang koordinat Cartesius mempunyai dua komponen, yaitu komponen horisontal (sejajar sumbu X) dan komponen vertikal (sejajar sumbu Y). Jika diberikan komponen-komponen suatu vektor maka vektor tersebut dapat digambar dan dapat ditentukanbesarnya.❖Panjangvektor (Modulus vektor)adalah besar dari vektor yang merupakan panjang segmen garis berarah yang menyatakan vektor tersebut.❖Panjang (modulus)vektor 𝑢⃗=(𝑎1𝑎2)dinyatakan|𝑢⃗|=.√𝑎12+𝑎22❖Vektor posisi adalah vektor dengan pangkal di titik O(0,0).❖Dua vektor dikatakan sama jika kedua vektor tersebut mempunyai besar (modulus) dan arah yang sama.❖Vektor yang besarnya sama dengan u tetapi arahnya berlawanan dengan u dikatakan vektor negatif u dan dilambangkan –u.❖Vektor nol adalah vektor yang besarnya nol dan tidak mempunyai arah.❖Vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1satuan.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN20𝑝qBROD.Latihan Soal1.Perhatikan gambar vektor-vektorberikut:Manakah vektor yanga.besarnya sama tetapi arahnyaberbedab.arahnya sama tetapi besarnyaberbedac.besar dan arahnyasamad.besar dan arahnyaberbedae.searah2.Tentukan komponen-komponen dari vektor-vektorberikut.YX3.Tulislah notasi vektor-vektor diatas.4.Perhatikan gambarberikut.𝑎𝑏⃗⃗𝑐𝑑𝑒𝑓

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN21Gambarlah vektor yanga.sama dengan vektor𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗b.negatif dari vektor𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗c.vektor satuan darivektorPRd.vektor posisiyang samadenganPR5.Perhatikan gambar berikut.Dari gambar vektor manakahyang:a.Vektor posisib.Sama dengan vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗c.Negatif vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗d.Vektor satuane.Vektor nol.6.Diketahui koordinat titik A(3, 4) dan B(9, 12). Tentukan:a.Vektor posisi dari titik A dan Bb.Komponen vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗c.Panjang vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗d.Vektor satuan dari vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN22Pembahasan Soal LatihanKegiatan Pembelajaran 11.Vektor yang:a.besarnya sama tetapi arahnyaberbedaadalah vektor 𝑎dan𝑐(skor 3)b.arahnya sama tetapi besarnya berbedaadalah vektor𝑏⃗(skor 3)c.besar dan arahnya samaadalah vektor𝑓(skor 3)d.besar dan arahnya berbedaadalah vektor 𝑑dan𝑒(skor 3)e.searahadalah vektor 𝑎,𝑏⃗dan 𝑓(skor 3)2.a. komponen horizontal vektor 𝑝adalah 3 satuan (skor 3)komponen vertikal vektor 𝑝adalah 2satuanb.komponen horizontal vektor 𝑞adalah 3 satuan(skor 3)komponen vertikal vektor 𝑞adalah 4satuanc.komponen horizontal vektor 𝑟adalah 5satuan (skor 3)komponen vertikal vektor 𝑟adalah 0satuand.komponen horizontal vektor 𝐷𝑅⃗⃗⃗⃗⃗adalah 2 satuan(skor 3)komponen vertikal vektor 𝐷𝑅⃗⃗⃗⃗⃗adalah 2satuane.komponen horizontal vektor 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗adalah 3satuanke kiri (skor 3)komponen vertikal vektor 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗adalah 4 satuanke bawah3.vektor 𝑝=(ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙3𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙2𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛)=(32)(skor 3)vektor 𝑞=(ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙3𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙4𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛)=(34)(skor 3)vektor 𝑟=(ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙5𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙0𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛)=(50)(skor 3)vektor 𝐷𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=(ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙2𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙2𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛)=(22)(skor 3)vektor 𝐾𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙−3𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙−4𝑠𝑎𝑡𝑢𝑎𝑛)=(−3−4)(skor 3)4.komponen horizontal vektor 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗adalah 4satuan komponen vertikal vektor 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗adalah 3satuan(skor 20)Perhatikan gambar:a.VektorAB⃗⃗⃗⃗⃗memilikipanjangdanarahyangsamadenganvektorPR⃗⃗⃗⃗⃗b.VektorST⃗⃗⃗⃗⃗memilikipanjangyangsamadanarahberlawanandenganvektorPR⃗⃗⃗⃗⃗c.Panjang vektor 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=√42+32=√25=5. Vektor 𝑢⃗merupakan vektor satuan dari vektor PR⃗⃗⃗⃗⃗.d.Vektor 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗memiliki pangkal titik O (pangkal koordinat) dan panjang serta arah sama dengan vektor PR⃗⃗⃗⃗⃗, jadi vektor 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗merupakan vektor posisi yang sama dengan vektor 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗.𝑎𝑏⃗⃗𝑐𝑑𝑒𝑓

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN23YX5.Vektor yang merupakan :a.Vektor posisi adalah vektor OA⃗⃗⃗⃗⃗danOB⃗⃗⃗⃗⃗(skor 3)b.Sama dengan vektor PQ⃗⃗⃗⃗⃗adalah vektor CD⃗⃗⃗⃗⃗(skor 3)c.Negatif vektor PQ⃗⃗⃗⃗⃗adalah vektor q⃗(skor 3)d.Vektor satuan adalah vektor r(skor 3)e.Vektor nol adalah vektor 𝑂⃗(skor 3)6.Diketahui koordinat titik A(3, 4) dan B(9, 12).:a.Vektor posisi dari titik A adalah vektor 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗dan vektor posisi dari titik Badalah 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗. Vektor 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(34)dan vektor 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(912)(skor 4)b.Komponen vektor AB⃗⃗⃗⃗⃗adalah AB⃗⃗⃗⃗⃗=OB⃗⃗⃗⃗⃗−OA⃗⃗⃗⃗⃗=(912)−(34)=(68)(skor 4)c.Panjang vektor AB⃗⃗⃗⃗⃗=|AB⃗⃗⃗⃗⃗|= √62+82=√100=10(skor 4)d.Vektor satuan yang searah vektor AB⃗⃗⃗⃗⃗adalah e⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|(skor 4)e.e⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗|= AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗10=110(68)(skor 4)Skor maksimum 100Untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda, cocokkan jawabanAndadengan kunci jawaban. Hitung jawaban benar Anda, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Andaterhadap materi kegiatan pembelajaran ini. Rumus Tingkat penguasaan=JumlahskorJumlahskormaksimum𝑥100%Kriteria 90% –100% = baik sekali 80% –89% = baik 70% –79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaan Andacukup atau kurang, maka Andaharus mengulang kembali seluruh pembelajaran.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN24E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Andaketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan.No.Kemampuan DiriYaTidak1.Saya sudahmemahami pengertian Vektor. 2.Saya sudah dapat menentukankomponen-komponen dari vektor.3.Saya sudahdapat menuliskan notasi-notasi vektor.4.Saya sudahdapat menggambarkan vektor apabila diberikan komponen-komponennya.5Saya sudah bisamenentukan kesamaan dua vektor,6Saya sudahmemahami vektor nol,7Saya sudah dapat memahami vektor posisi,8Saya sudah dapat memahami vektor satuan,Catatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN25KEGIATAN PEMBELAJARAN 2Operasi Vektor pada Bidang (R2)A.Tujuan PembelajaranSetelahkegiatan pembelajaran 2 ini, diharapkan Andadapat menentukan operasi vektorpada bidang, diantaranya hasil kali suatu vektor dengan skalar, hasil penjumlahan vektor-vektor, dan selisih dua vektor.B.Uraian MateriMenentukan Hasil Kali suatu Vektor dengan SkalarPada kegiatan pembelajaran 1Andatelah mengenal besaran vektor, yaitu besaran yang memiliki besar (panjang) dan arah. Selain itu, ada besaran lain yang hanya memiliki besar, misalnya: jarak, waktu, massa, dan sebagainya. Besaran yang hanya memiliki besar disebut besaran skalar. Adapun bilangan yang kita gunakan untuk mengukur besaran skalar disebutskalar.Vektor dapat dioperasikan dengan skalar. Karena skalar hanya mempunyai besar maka perkalianvektor dengan skalar hanya akan berpengaruh pada besar vektor saja, sedangkan arahnya tetap.Hasil kali vektor 𝑎dengan skalar 2 akan menghasilkan vektor dengan besar 2 kalinya sedangkan arahnya tetap. Secara umum, hasil kali vektor 𝑎dengan skalar kakan menghasilkan vektor 𝑘.𝑎yang besarnya kkali besar 𝑎dan arahnya sama dengan 𝑎bila kpositif, dan berlawanan arah 𝑎bila knegatif.CobaAndaperhatikan contoh berikut.Gambar 2.1Dari gambar terlihat bahwa vektor 𝑤1⃗⃗⃗⃗searah dengan vektor 𝑢⃗dan panjangnya 2 kali vektor 𝑢⃗. Vektor 𝑤1⃗⃗⃗⃗= 2𝑢⃗. Begitupula dengan vektor 𝑤2⃗⃗⃗⃗⃗dan 𝑤3⃗⃗⃗⃗⃗. Sementara untuk vektor 𝑤4⃗⃗⃗⃗arahnya berlawanan dengan arah vektor 𝑢⃗dan panjangnya 2 kali vektor 𝑢⃗sehingga vektor 𝑤4⃗⃗⃗⃗= -2𝑢⃗.Dalam bentuk komponen vektor bisaAndalihat lebih jelas.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN26Vektor 𝑤⃗⃗sejajar dengan vektor𝑢⃗, ditulis 𝑤⃗⃗//𝑢⃗jika:𝑤⃗⃗=𝑘.𝑢⃗, dengan kskalar, 𝑘∈𝑅Jika k> 0, maka 𝑤⃗⃗searah𝑢⃗Jika k < 0, maka 𝑤⃗⃗berlawanan𝑢⃗𝑢⃗=(41)𝑤1⃗⃗⃗⃗=2.𝑢⃗=2(41)=(82)𝑤2⃗⃗⃗⃗⃗=3.𝑢⃗=3(41)=(123)𝑤3⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑢⃗=12(41)=(212)𝑤4⃗⃗⃗⃗=−2𝑢⃗=−2(41)=(−8−2)Uraian di atas memperlihatkan bahwa vektor-vektor yang arahnya sama dengan vektor 𝑢⃗yaitu 𝑤1⃗⃗⃗⃗,𝑤2⃗⃗⃗⃗⃗dan 𝑤3⃗⃗⃗⃗⃗dapat ditulis dalam bentuk 𝑤𝑖⃗⃗⃗⃗=𝑘.𝑢⃗dengan k skalar yang bernilai positif.Sementara itu vektor yang arahnya berlawanan dengan vektor 𝑢⃗seperti 𝑤4⃗⃗⃗⃗, dapat ditulis dalam bentuk 𝑤𝑖⃗⃗⃗⃗=𝑘.𝑢⃗dengan kskalar yang bernilai negatif.Vektor-vektoryang arahnya sama atau berlawanan dengan vektor 𝑢⃗disebut vektor-vektor yang sejajar dengan vektor 𝑢⃗. Sehingga:Contoh 1:Buktikan bahwa vektor 𝑢⃗=(21)sejajar dengan vektor 𝑣=(63)Alternatif Penyelesaian:Dua buah vektor akan sejajar jika memiliki arah yang sama atau arah berlawanan dan besarnya bisa berbeda. Dua vektor yang sejajar dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian skalardengan vektor.𝑢⃗=(21)𝑣=(63)=(3.23.1)=3.(21)=3𝑢⃗Vektor 𝑣bisa dinyatakan dalam bentuk perkalian skalardengan vektor 𝑢⃗, yaitu 𝑣=3𝑢⃗atau vektor 𝑢⃗dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian skalardengan vektor 𝑣, yaitu 𝑢⃗=13𝑣. Ini berarti vektor 𝑢⃗searah dengan vektor 𝑣dan panjangnya 13𝑣atau vektor 𝑣searah dengan vektor 𝑢⃗dan panjangnya 3 kali vektor 𝑢⃗. Jadi vektor 𝑢⃗sejajar dengan vektor 𝑣.Contoh 2:Tentukan apakah titik-titikP(1, –2),Q(2, 1), danR(4, 7) kolinear (segaris).Alternatif Penyelesaian:Titik P, Qdan Rdikatakan kolinear (segaris) jika titik P, Q dan R terletak pada garis yang sama. Titik P, Qdan Rakan terletak pada garis yang sama jika dan hanya jika

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN27vektor-vektor yang mewakili ruas garis berarah dari titik-titik P, Qdan Rmemiliki pangkal yang samadan sejajar.Vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗dan 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗memiliki titik pangkal yang sama.Komponen vektor𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(21)−(1−2)=(13)Komponen vektor𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=(47)−(1−2)=(39)=3.(13)=3.𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗Karena 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=3.𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗berarti vektor𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗sejajar vektor𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗dan sama-sama berpangkal di titik P. Jadi,dapat disimpulkan bahwa titik P, Qdan Rmerupakan titik-titik yang kolinear (segaris) seperti tampak pada gambar di bawah.PenjumlahanVektorAnita dan Alya merencanakan dari Jakarta ke Bandung. Jika naik kereta api mereka akan melalui Purwakarta dahulu, kemudian ke Bandung. Tetapijika naik pesawat, dia dapat terbang langsung dari Jakarta ke Bandung. Anita dan Alya menggambarkan rute perjalanannya dalam bentuk vektor sebagai berikut, dengan Jmewakili Jakarta, Pmewakili Purwakarta dan Bmewakili BandungJPBGambar 2.2Vektor Rute Jakarta -BandungDari gambar di atas, rute Jakarta-Purwakarta diwakili oleh vektor 𝐽𝑃⃗⃗⃗⃗=𝑢1⃗⃗⃗⃗dan dilanjutkan dengan rute Purwakarta-Bandung yang diwakili olehvektor 𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑢2⃗⃗⃗⃗. Dari gambar yang dibuat Anita dan Alya, rute perjalanan naik kereta dari Jakarta –Purwakarta –Bandung sama hasilnya dengan rute perjalanan naik pesawat Jakarta –Bandung. 𝐽𝑃⃗⃗⃗⃗+𝑃𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐽𝐵⃗⃗⃗⃗

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN28𝑢1⃗⃗⃗⃗𝑢2⃗⃗⃗⃗𝑢1⃗⃗⃗⃗𝑢2⃗⃗⃗𝑢⃗1+𝑢2⃗⃗⃗⃗Masalah di atas merupakan masalah penjumlahan dua vektor atau resultan dari dua vektor.Untuk menggambar jumlah dua vektor, dapat dilakukan dengan cara seperti di atas, yaitu menghimpitkan ujung vektor pertama dengan pangkal vektor kedua, hasilnya adalah vektor dengan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua. Cara ini disebut aturansegitiga.Selain itu dapat juga dilakukan dengan menghimpitkan pangkal kedua vektor 𝑢1⃗⃗⃗⃗dan 𝑢2⃗⃗⃗⃗. Jumlah kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang sisi-sisinya adalah 𝑢1⃗⃗⃗⃗dan 𝑢2⃗⃗⃗⃗. Cara ini disebut aturan jajargenjang. Perhatikan gambarberikut.Gambar 2.3Aturan JajargenjangContoh 3 :Sebuah perahu akan digunakan untuk menyeberangi sungai yang lebarnya 24 meter. Sungai itu mempunyai kecepatan arus 5 meter/detik. Arah perjalanan perahu tersebut dapat digambarkan sebagai berikut.AB5 m/dt CGambar 2.4𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗menyatakan arahdanjarakyang ingin ditempuhperahu,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗menyatakan kecepatanarus𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗= 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+ 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗menyatakan arah danjarak perjalanan perahu.Contoh 4:Perhatikan gambar berikut:Gambar 2.524meter

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN29Dari Gambar 2.5diperoleh:𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(23),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1−4),𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=(32),𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(2−2),𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(14)dan𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(93)Kalau kita jumlahkan maka:𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(23)+(1−4)+(32)+(2−2)+(14)=(93)=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗Jadi, 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗Contoh 5:Diketahui vektor𝑎=(45)dan vektor𝑏⃗=(−3−2), tentukan vektor𝑐=3𝑎+2𝑏⃗Alternatif penyelesaian:𝑐=3𝑎+2𝑏⃗=3(45)+2(−3−2)=(1215)+(−6−4)=(611)Jadi: 𝑐=3𝑎+2𝑏⃗=(611)Sifat-sifat Penjumlahan Vektor1)KomutatifPerhatikan gambar berikut:Gambar 2.6Penjumlahan vektor secara komutatif.PQRSmerupakan jajargenjang.Misalkan: 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎→𝑆𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗→𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗KesimpulannyaUntuk setiap vektorberlaku𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+⋯𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN30𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗+𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎+𝑏⃗𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗+𝑆𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗+𝑎𝑎+𝑏⃗= 𝑏⃗+𝑎(komutatif)Jadi,penjumlahanpadavektorberlakusifatkomutatif.2)Sifat AsosiatifPerhatikan gambar berikut:Gambar 2.7Penjumlahan Vektor secara Asosiatif SPQRadalah suatu limas segitiga𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎,𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗,dan𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐(𝑎+𝑏⃗)+𝑐=(𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗+𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗)+𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗+𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗𝑎+(𝑏⃗+𝑐)=𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗+(𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗+𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗)=𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗+𝑄𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑆⃗⃗⃗⃗Jadi: (𝑎+𝑏⃗)+𝑐=𝑎+(𝑏⃗+𝑐)Berarti penjumlahan pada vektor bersifat Asosiatif.3)Mempunyai elemen identitas, yaitu vektor 𝑂⃗(vektor nol) sebab untuk semua vektor 𝑎berlaku𝑎+ 𝑜= 𝑜+ 𝑎= 𝑎4)Invers dari suatu vektorLawan atau invers jumlah atau negatif dari suatu vektor 𝑎adalah suatu vektor yang apabila dijumlahkan dengan vektor 𝑎menghasilkan vektor nol. Lawan dari vektor 𝑎ditulis −𝑎. Apabila digambarkan dengan ruas garis berarah,sebuah vektor lawan dari vektor 𝑎adalah vektor yang panjangnyasama dengan vektor 𝑎, tetapi arahnya berlawanan dengan vektor 𝑎.Jadi, setiap vektor 𝑎mempunyai invers jumlah (lawan).Sebab: 𝑎+ (-𝑎) = (-𝑎) + 𝑎= 𝑜Gambar 2.8Inversdari suatu Vektor

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN31Selisih Dua VektorSelisih atau pengurangan adalah lawan dari penjumlahan.Andabisa menghitung selisih dua vektor dengan cara menjumlahkan vektor pertama dengan lawan (negatif) vektor kedua. Dengan demikian :𝑎−𝑏⃗=𝑎+(−𝑏⃗)Perhatikan gambar berikut:Gambar 2.9Selisih Dua VektorContoh 6:Diketahui koordinat titik A(1, 1), B(3, 5) dan C(-1, 6). Tentukan vektor𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗!Alternatif penyelesaian:Komponen vektor𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(3−15−1)=(24)Komponen vektor𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−1−36−5)=(−41)vektor𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗= 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+(−𝐵𝐶)⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(24)+(−(−41))=(2+44−1)=(63)SilahkanAndaperhatikan gambar berikut.Gambar 2.10Selisih Dua Vektor pada KordinatKartesiusSetelahAndamempelajari konsep aturan rantai dalam menyelesaikan masalah Vektor, silahkan kembangkan pemahamanAndadengan mengerjakan latihan dan evaluasi. Jika hasilnya belum memuaskan silahkanAndaulang kembali pembelajarannya dari awal.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN32Vektor Basis di R2SetelahAndamempelajari Perkalian skalardengan vektor, penjumlahan dan selisih dua vektor, pembahasan kita kembangkan untuk memahami vektor basis.CobaAndaperhatikan gambar berikut:Gambar 2.11Vektor BasisTitik P(x1, y1)merupakan titik ujung vektor posisi yang pangkalnya pusat koordinat, yaitu vektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑝. Dari gambar tampak bahwa: 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗+𝑄𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗+𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗dengan𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑅𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑥1𝑖dan 𝑂𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=𝑄𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=𝑦1𝑗Sehingga dapat dituliskan: 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑝=𝑥1𝑖+𝑦1𝑗Bentuk vektor ini disebut vektor basis dalam 𝑖dan 𝑗Jadi setiap vektor di R2dapat disajikan dalam bentuk vektor basis Contoh 7:Diketahui segitiga OAB dengan titik sudut: O(0, 0), A(3, 1) dan B(6, 5).𝑎merupakanvektorposisidarititik𝐴dan𝑏⃗vektorposisidarititik𝐵.Nyatakanvektor𝑎,𝑏⃗dan𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗dalambentukvektorbasis.Alternatif penyelesaian:𝑎=𝑥1𝑖+𝑦1𝑗=3𝑖+1.𝑗𝑏⃗=𝑥1𝑖+𝑦1𝑗=6𝑖+5𝑗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗−𝑎=(6𝑖+5𝑗)−(3𝑖+1.𝑗)=3𝑖+4𝑗𝑝=𝑥1𝑖+𝑦1𝑗

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN33C.Rangkuman❖Hasil kali vektor 𝑢⃗dengan skalar nakan menghasilkan vektor yang besarnya nkali besar 𝑢⃗dan arah sama dengan𝑢⃗⃗⃗.❖Untuk menggambar jumlah dua vektor, dapat dilakukan dengan cara➢aturan segitiga, yaitu menghimpitkan ujung vektor pertama dengan pangkal vektor kedua, hasilnya adalah vektor dengan pangkal vektor pertama dan ujung vektorkedua.➢aturan jajargenjang, yaitu dengan menghimpitkan pangkal kedua vektor 𝑢1⃗⃗⃗⃗dan𝑢2⃗⃗⃗⃗. Jumlah atau resultan kedua vektor adalah diagonal jajargenjang yang sisi-sisinya adalah 𝑢1⃗⃗⃗⃗dan𝑢2⃗⃗⃗⃗❖Selisih dua vektor berarti menjumlahkan vektor pertama dengan lawan (negatif) vektor kedua. Dengan demikian 𝑎–𝑏⃗= 𝑎⃗⃗⃗+ (–𝑏⃗).❖Setiapvektor di R2dapat disajikan dalam bentuk vektor basis 𝑝=𝑥1𝑖+𝑦1𝑗D.Latihan SoalKerjakan dengan hati-hati dan teliti.1.ABCD adalah jajargenjang dengan 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗= 𝑢⃗, 𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗= 𝑣, titik E dan F masing-masing titik tengah 𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗dan 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗. Nyatakan vektor-vektor berikut dalam 𝑢⃗dan 𝑣a.𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗b.𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗c.𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗2.Diketahui A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4) tunjukkan titik A, B, dan C segaris (kolinear) dan carilah AB : BC3.Diketahui titik-titik A(-2, 5) danB(2, -1). Jika 𝑎merupakan vektor posisi dari titik Adan 𝑏⃗merupakan vektor posisi dari titik B, tentukan:a.2𝑎−𝑏⃗b.|𝑎+2𝑏⃗|4.Diketahui 𝑎=3𝑖−𝑗dan 𝑏⃗=2𝑖+13𝑗dan 𝑐= -2𝑖-8𝑗. Tentukanlah :a.𝑎+𝑏⃗dan |𝑎+𝑏⃗|b.𝑎+𝑏⃗+𝑐dan |𝑎+𝑏⃗+𝑐|5.Diketahui titik Otitik pangkal, dan titik-titik A, B dan C dengan vektor posisi 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗= 9𝑖-10𝑗, 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗= 4𝑖+ 2𝑗dan 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗= m𝑖-2𝑗.a. Tentukan vektor satuan yang searah 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗b. Tentukan nilaimagar A,Bdan Csegaris

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN34Pembahasan Latihan Soal Kegiatan Pembelajaran 21.Perhatikan gambar berikut:(skor maksimum 20)Gambar 2.15 𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑢⃗𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑣a.𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑣+12𝑢⃗b.𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=12𝑢⃗+12𝑣c.𝐴𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝑢⃗+12𝑣2.A(1, 1), B(4, 2), dan C(10, 4)(skor maksimum 20)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(4−12−1)=(31)𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(10−44−2)=(62)=(2.32.1)=2.(31)=2.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(10−14−1)=(93)=(3.33.1)=3.(31)=3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗Karena 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗searah dengan𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗dan panjang 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗, maka titik A, Bdan Csegaris.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=2.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗↔𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗:𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2:13.Diketahui A(-2, 5) danB(2, -1), maka vektorposisinya adalah𝑎=(−25)dan 𝑏⃗=(2−1)(skor maksimum 20)Dicari:a.2𝑎−𝑏⃗=2.(−25)−(2−1)=(−410)−(2−1)=(−611)b.𝑎+2𝑏⃗=(−25)+2(2−1)=(−25)+(4−2)=(23)|𝑎+2𝑏⃗| = √(2)2+32=√4+9=√134.Diketahui 𝑎=3𝑖−𝑗dan 𝑏⃗=2𝑖+13𝑗dan 𝑐= −2𝑖−8𝑗.Dalam bentuk vektor kolom: 𝑎=(3−1),𝑏⃗=(213),𝑐=(−2−8)(skor maksimum 20)Dicari:a.𝑎+𝑏⃗=(3𝑖−𝑗)+(2𝑖+13𝑗)=5𝑖+12𝑗Dinyatakan dalam vektor kolom : 𝑎+𝑏⃗=(512)|𝑎⃗⃗⃗+𝑏⃗|=√52+122=√25+144=√169=13

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN35b.𝑎+𝑏⃗+𝑐=(3−1)+(213)+(−2−8)=(34)=3𝑖+4𝑗|𝑎+𝑏⃗+𝑐|=√32+42=√9+16=√25=55.Diketahui: vektor posisi 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗= 9𝑖-10𝑗, 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗= 4𝑖+ 2𝑗dan 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗= m𝑖-2𝑗. Dalam bentuk vektor kolom𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗= (9−10), 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗= (42)dan 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗= (𝑚−2)Dicari:(skor maksimum 20)a.Vektor satuan searah 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(42)−(9−10)=(−512)=−5𝑖+12𝑗Vektor satuan searah 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑒=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√(−5)2+122=√25+144=√169=13𝑒=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=−5𝑖+12𝑗13=113(−5𝑖+12𝑗)b.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(−512)𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑚−2)−(42)=(𝑚−4−4)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑚−2)−(−512)=(𝑚+5−14)A, Bdan Csegaris𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑛.𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗(−512)=𝑛.(𝑚−4−4)−3(53−4)=𝑛.(𝑚−4−4)Dari persamaan diaas didapat n = -3.53=𝑚−4↔𝑚=4+53=173Titik A, B dan C akan segaris jika nilai m = 173Skor maksimal 100.Untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban. Hitung jawaban benar Anda, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaanAndaterhadap materi kegiatan pembelajaran ini. Rumus Tingkat penguasaan=𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚𝑥100%Kriteria 90% –100% = baik sekali 80% –89% = baik 70% –79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaanAndacukup atau kurang, makaAndaharus mengulang kembali seluruh pembelajaran.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN36E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Andaketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan.No.Kemampuan DiriYaTidak1.Saya sudahmemahami perkalian skalardengan vektor. 2.Saya sudah dapat menentukanpenjumlahan duavektor.3.Saya sudahdapat menentukan selisihvektor.4.Saya sudahdapat memahami sifat operasi vektor5Saya sudah bisamenentukan vektor basis pada R2Catatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN37KEGIATAN PEMBELAJARAN 3Ruang Lingkup Vektor pada Bangun RuangA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 3ini diharapkanAnda dapat:1.Menghitung modulus vektor bila diberikan suatu vektor pada bangun ruang.2.Menentukan vektor posisi suatu vektor pada bangun ruang.3.Menyatakan bahwa dua vektor pada bangun ruang sama.4.Menentukan negatif dari suatu vektor pada bangun ruang.5.Menyatakan pengertian vektor nol pada bangun ruang.6.Menentukan vektor satuan pada bangun ruang.B.Uraian MateriSetelah pada pembelajaran 1 dan 2Andamempelajari vektor pada bidang (R2), pada pembelajaran 3 kita kembangkankan pembahasan kita mengenai vektor pada bangun ruang(R3).Vektor pada bangun ruang (dimensi tiga) adalah vektor yang memiliki 3 buah sumbu yaitu X, Ydan Zyang salingtegak lurus dan perpotongan ketiga sumbu sebagai pangkal perhitunganvektor 𝑝pada bangun ruang dapat dituliskan dalam bentuk :1.Koordinat Cartesius P= (x, y, z)P(x, y, z)Gambar 3.1 Vektor pada Bangun Ruang2.Vektor kolom p⃗=(xyz)atau vektor baris p⃗=(x,y,z)3.Kombinasi linear vektor satuan (vektor basis) 𝑝=𝑥.𝑖+𝑦.𝑗+𝑧.𝑘⃗dengan 𝑖=(100),𝑗=(010)dan𝑘⃗=(001)𝑖= vektor satuan dalam arah OX(searah sumbu X)𝑗= vektor satuan dalam arah OY(searah sumbu Y)𝑘⃗= vektor satuan dalam arah OZ(searah sumbu Z)

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN38Contoh 1:Pada gambar balok disamping, nyatakanlahvektor-vektor berikut ini dalam bentukpersamaan vektor dan vektor kolom.a.𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗b.𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗Alternatif penyelesaian:a.𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗|𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗|= 3 Gambar 3.2𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=−3𝑖, dengan 𝑖vektor satuan searah sumbu X𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=4𝑗, dengan 𝑗vektor satuan searah sumbu Y𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=−3𝑖+4𝑗Jadi persamaan vektor 𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=−3𝑖+4𝑗Vektor kolom:𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=(−340)b.𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑖𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=4𝑗𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−2𝑘⃗, dengan 𝑘⃗vektor satuan searah sumbu Z𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐸⃗⃗⃗⃗⃗+𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗+𝐹𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑖+4𝑗+(−2𝑘⃗)=3𝑖+4𝑗−2𝑘⃗Jadi persamaan vektor 𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑖+4𝑗−2𝑘⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗Vektor kolom:𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(34−2)Panjang Vektor (Modulus Vektor)Mari kita perhatikan gambar berikut:Gambar 3.3Panjang (Modulus) Vektor

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN39Komponen vektor𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗searah sumbu Xsebesar xB–xA,komponenvektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗yang searah sumbu Ysebesar yB–yA, dan komponen vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗yang searah sumbu ZsebesarzB–zA.Besar vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗adalah panjang 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗dan disebut modulus vektor𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗. Perhatikan vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗merupakan diagonal ruang maka panjang 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗adalah:|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√(𝑥𝐵−𝑥𝐴)2+(𝑦𝐵−𝑦𝐴)2+(𝑧𝐵−𝑧𝐴)2Contoh 2:Diketahui balok OABC.DEFGdimana Oadalah pusat koordinat Cartesius. Jika panjang sisi OA= 4 cm, OC= 7 cm dan OD= 5 cm. Tentukanlah :a.Persamaan vektor 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗b.Panjang vektor 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗Alternatif Penyelesaian:Perhatikan gambar berikut:Gambar 3.4 Vektor pada bangun ruang balok.a.Persamaan vektor 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=vektor basis dari vektor 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗+𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=5cm, |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=7cm,|𝐵𝐶|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=4cm𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=5(−𝑘⃗), dengan 𝑘⃗vektor satuan searah sumbu Z.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=7𝑗, dengan 𝑗vektor satuan searah sumbu Y𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=4(−𝑖), dengan 𝑖vektor searah sumbu X𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐸𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−5𝑘⃗+7𝑗−4𝑖=−4𝑖+7𝑗−5𝑘⃗b.Panjang vektor 𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2=|𝐸𝐺⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2=|𝐸𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐷𝐺⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝐺𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|2=(−4)2+72+(−5)2=16+49+25=90|𝐸𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√90=3√10Vektor PosisiVektor pada bangun ruang dapat digambarkan pada ruang koordinat Cartesius.Setiaptitik Ppada ruang dapat dinyatakansebagai vektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗, yaitu vektor yang berpangkal di titik O(0,0,0) dan berujung di titik P. Vektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗disebut vektor posisi darititik Ppada

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN40P(𝑥1,𝑦1,𝑧1)ruang koordinat Cartesius. Koordinat titik Pmerupakan komponen-komponen dari vektor posisi 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗tersebut.Perhatikan gambar berikut:Gambar 3.5Pada gambar di atas vektor posisi 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗mempunyai komponen searah sumbu Xsebesar 𝑥1, komponen searah sumbu Ysebesar 𝑦1dankomponensearahsumbu𝑍sebesar𝑧1.Vektor posisi 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑝=(𝑥1𝑦1𝑧1)dan dalam bentuk vektor basis adalah𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=𝑝=𝑥1𝑖+𝑦1𝑗+𝑧1𝑘⃗.Contoh 3:Diketahui segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(0, 3, 5), B(2, 4, 6), dan C(4, 3, 1). Tentukan:a.Vektor posisi titik A, Bdan C.b.Vektor 𝑝yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik Bc.Vektor 𝑞yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal B ke titik Cd.Vektor 𝑟yang mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal A ke titik Ce.Keliling segitiga ABCAlternatif Penyelesaian:a.Vektor 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal Oke titik A.Vektor 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal Oke titik B.Vektor 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal Oke titik C.𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎=(035), 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗=(246)dan 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐=(431)b.𝑝=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗−𝑎=(246)−(035)=(211)c.𝑞=𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐−𝑏⃗=(431)−(246)=(2−1−5)d.𝑟=𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐−𝑎=(431)−(035)=(40−4)e.Keliling segitigaABC = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=√22+12+12=√6

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN41𝑎𝑏⃗𝑐𝑑|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√22+(−1)2+(−5)2=√30|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=√42+02+(−4)2=√32Jadi,keliling segitiga ABC = |𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|+|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|= √6+√30+√32.Kesamaan VektorDua vektor dalam ruang dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama.Perhatikan gambar berikut:Gambar 3.6 Kesamaan VektorVektor 𝑎,𝑏⃗,𝑐,dan𝑑pada gambar di atas tampak sejajar dan memiliki panjang yang sama. Vektor 𝑎,𝑏⃗,𝑐,dan𝑑adalah vektoryang sama karena mempunyai besar dan arah yang sama.Misal:𝑎= 321aaaatau 𝑎= a1𝑖+ a2𝑗+ a3𝑘⃗,dan 𝑏⃗= 321bbbatau 𝑏⃗= b1𝑖+ b2 𝑗+ b3𝑘⃗𝑎= 𝑏⃗jika dan hanya jika a1= b1, a2= b2, a3= b3.VektorNegatifVektor di ruang yang besarnya sama dengan vektor 𝑢⃗tetapi arahnya berlawanan disebut vektor negatif dari 𝑢⃗dan ditulis sebagai−𝑢⃗. Perhatikan gambar berikut.Gambar 3.7VektorNegatif

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN42Vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗dengan vektor 𝑆𝑅⃗⃗⃗⃗⃗memiliki panjang yang sama dan arah saling berlawanan. Vektor 𝑆𝑅⃗⃗⃗⃗⃗merupakan lawan (negatif) dari vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗.Contoh 4:Diketahui vektor𝑢⃗=(345), tentukan negatifdari vektor 𝑢⃗.Alternatif jawaban:Negatifdari vektor 𝑢⃗adalah −𝑢⃗, maka −𝑢⃗=−(345)=(−3−4−5)VektorNolYang dimaksud dengan vektor nol adalah vektor yang besarnya nol atau tidak mempunyai panjang (berupa titik). Vektor nol tidak mempunyai arah tertentu. Vektor nol dilambangkan dengan 0⃗=(000). Pada koordinat ruang Cartesius, vektor nol adalah titik O(0,0,0).VektorSatuanVektor yang mempunyai panjang 1(satu)satuan disebut vektor satuan. Vektor satuan dari vektor 𝑎didefinisikan vektor 𝑎dibagi dengan besar vektor 𝑎sendiri, yang dirumuskandengan 𝑒=𝑎⃗|𝑎⃗|Contoh 5:Tentukan vektor satuan dari vektor 𝑎= 542.Alternatif Penyelesaian :Panjang vektor 𝑎adalah 𝑎= 525)5(42222==++Jadi,vektor satuan vektor 𝑎adalah 𝑒=𝑎⃗|𝑎⃗|=15542= (2545√55)danPanjang vektor 𝑒adalah | 𝑒|=√(25)2+(45)2+(√55)2=√425+1625+525=√2525=1C.Rangkuman❖Modulus(panjang)vektor pada bangun ruang adalah besar dari vektor yang merupakan panjang segmen garis berarah yang menyatakan vektor tersebut.❖Modulus vektor𝑎=(𝑎1𝑎2𝑎3)dinyatakan dengan |𝑎| = √𝑎12+𝑎22+𝑎32❖Vektor posisi adalah vektor yang menyatakan kedudukan setiaptitik di ruang koordinat Cartesius. Vektor posisi berpangkal di titik O(0,0,0) dan berujung di titik pada ruang koordinat.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN43❖Dua vektor dikatakan sama jika mempunyai besar dan arah yang sama. Vektor yang besarnya sama dengan 𝑢⃗tetapi arahnya berlawanan dengan 𝑢⃗dikatakan vektor negative 𝑢⃗.❖Vektor nol adalah vektor yang besarnya nol dan tidak mempunyai arah. ❖Vektor satuan adalah vektor yang besarnya 1. Vektor satuan yang searahdengan suatu vektor 𝑣ditentukan dengan rumus: 𝑒=𝑣⃗|𝑣⃗|D.Latihan Soal1.Tentukan modulus dari vektor-vektor berikut.a.𝑢⃗= −−354b.𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗dengan titik A(–2 , 3 , –1) dan titik B(2 , 1 , –4)2.Diketahui titik P(2 , 5 , –4) dan Q(1 , 0 , –3). Tentukan :a.Koordinat titik Bjika 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗sama dengan vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗dan titik A(2 , –2 , 4)b.Koordinat titik Sjika 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗merupakan negatif vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗jika titik R(–1 , 3 , 2)3.Tentukan vektor satuan dari vektor-vektor berikut.a.𝑢⃗=(00−1)b.𝑣⃗⃗⃗=(−11−1)c.𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗dengan C(3 , –2 , 1) dan D(2 , –2 , 1)d.𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗dengan F(2 , 1 , 2) dan G(2 , 0 , 3)4.Tentukan besar vektor berikut beserta vektor satuannya.a.𝑣= 142b.𝑤⃗⃗= −𝑖+5𝑗+𝑘⃗c.𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗= −5035.Gambarlah vektor dengan titik P (2 , -3 , 1) dan Q (1 , 3 , -2)a.Hitung modulus vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗b.Buat vektor negatif dari𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗, kemudian hitung modulusnya/besarnya!

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN44Pembahasan Latihan Soal Kegiatan Pembelajaran 31.a. Modulus vektor𝑢⃗=(4−5−3)|𝑢⃗|=√42+(−5)2+(−3)2=√16+25+9=√50=5√2(skor 8)b.Diketahui titik A (-2 , 3 , -1) dan titik B(2 , 1 , -4)(skor 12)Vektor posisi 𝑎=(−23−1)dan 𝑏⃗=(21−4)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗−𝑎=(21−4)−(−23−1)=(4−2−3)Modulus vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=√42+(−2)2+(−3)2=√292.Diketahui titik P(2 , 5 , -4) dan Q(1 , 0 , -3) titik pangkal dan titik ujung dari vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗dan A(2, 2, -4) pangkal dari vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗𝑝=(25−4),𝑞=(10−3),𝑎=(22−4). Misalkan 𝑏⃗=(𝑏1𝑏2𝑏3)(skor 2)a.𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(10−3)−(25−4)=(−1−51)(skor 10)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗−𝑎=(𝑏1𝑏2𝑏3)−(22−4)=(𝑏1−2𝑏2−2𝑏3−(−4))=(𝑏1−2𝑏2−2𝑏3+4)𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗(𝑏1−2𝑏2−2𝑏3+4)=(−1−51)𝑏1−2=−1→𝑏1=1𝑏2−2=−5→𝑏2=−3𝑏3+4=1→𝑏3=−3Jadi,koordinat titik B agar vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗adalah B(1, -3, -3)b.Vektor 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗merupakan negatif vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗dantitik R(-1 , 3 , 2)(skor 8)𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗Misalkan 𝑠=(𝑠1𝑠2𝑠3)→𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑠1𝑠2𝑠3)−(−132)=(𝑠1−(−1)𝑠2−3𝑠3−2)(𝑠1−(−1)𝑠2−3𝑠3−2)=−(−1−51)↔(𝑠1−(−1)𝑠2−3𝑠3−2)=(15−1)𝑠1−(−1)=1→𝑠1=0𝑠2−3=5→𝑠2=8𝑠3−2=−1→𝑠3=1 Jadi,koordinat titik Sagar 𝑅𝑆⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗adalah S(0, 8, 1)

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN45Pembilang dan penyebut dikalikan √23.a. Vektor satuan searah vektor 𝑢⃗= −100(skor 5)Panjang vektor 𝑢⃗=|𝑢⃗|=√02+02+(−1)2=√1=1Vektor satuan searah vektor 𝑢⃗=𝑒=𝑢⃗⃗|𝑢⃗⃗|=−1001=−100b.Vektor satuan searahvektor𝑣⃗⃗⃗=(−11−1)(skor 5)Panjang vektor𝑣=|𝑣|=√(−1)2+12+(−1)2=√3Vektor satuan searah vektor 𝑣=𝑒=𝑣|𝑢⃗⃗|=(−11−1)√3=1√3(−11−1)=13(−√3√3−√3)c.𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗dengan C(3 , -2 , 1) dan D(2 , -2 , 1)(skor 5)𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝑑−𝑐=(2−21)−(3−21)=(−100)Panjag 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=√(−1)2+02+02=√1=1Vektor satuan searah vektor 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗|=(−100)1=(−100)d.𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗dengan F (2 , 1 , 2) dan G(2 , 0 , 3)(skor 5)𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝑔−𝑓=(203)−(212)=(0−11)|𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗|=√02+(−1)2+12=√0+1+1=√2Vektor satuan searah vektor 𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗=𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗|𝐹𝐺⃗⃗⃗⃗⃗|=(0−11)√2=1√2(0−11)=12(0−√2√2)4.𝑎.𝑣= 142(skor 8)Panjang vektor 𝑣=|𝑣|=√22+42+12=√4+16+1=√21Pembilang dan penyebut dikalikan √3

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN46Vektor satuan searah vektor 𝑣=𝑒=𝑣⃗|𝑣⃗|=(241)√21=1√21(241)=121(2√214√21√21)𝑏.𝑤⃗⃗= −𝑖+5𝑗+𝑘⃗=(−151)(skor 8)Panjang 𝑤⃗⃗=|𝑤⃗⃗|=√(−1)2+52+12=√1+25+1=√27=3√3Vektor satuan searah vektor 𝑤⃗⃗=𝑒=𝑤⃗⃗|𝑤⃗⃗|=−𝑖+5𝑗+𝑘⃗3√3=19√3(−𝑖+5𝑗+𝑘⃗)𝑐.𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(−305)(skor 8)Panjang 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|=√(−3)2+02+52=√9+0+25=√44=2√11Vektor satuan searah vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑒=𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|=(−305)2√11=122√11(−305)5.Gambar vektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗(skor 6)a.𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑞−𝑝=(13−2)−(2−31)(−16−3)(skor 4)|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|=√(−1)2+62+)−3)2=√1+36+9=√46b.Vektor negatif dari 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=−(−16−3)(1−63)(skor 6)..................................................4Modulus Vektor −𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=|−𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|=√12+(−6)2+32=√1+36+9=√46Skor maksimum : 100

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN47Untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban. Hitung jawaban benar Anda, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaanAndaterhadap materi kegiatan pembelajaran ini. Rumus Tingkat penguasaan=𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚𝑥100%Kriteria 90% –100% = baik sekali 80% –89% = baik 70% –79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaanAndacukup atau kurang, makaAndaharus mengulang kembali seluruh pembelajaran. E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Anda ketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan.Catatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.No.Kemampuan DiriYaTidak1.Saya sudah dapat menghitung modulus Vektor pada bangun ruang2.Saya sudah dapat menentukan vektorposisi pada bangun ruang.3.Saya sudah dapat memahami kesamaan vektorpada bangun ruang.4.Saya sudah dapat menentukan negative suatu vektorpada bangun ruang5Saya sudah memahami vektor nol pada bangun ruang6Saya sudah dapat memahami vektor satuan pada bangun ruang

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN48KEGIATAN PEMBELAJARAN 4Operasi Vektor Pada Bangun RuangA.Tujuan PembelajaranSetelah kegiatan pembelajaran 4ini diharapkanAnda dapat:1.Menentukan hasil kali suatu vektor pada bangun ruang dengan skalar.2.Menentukan hasil penjumlahan vektor-vektor pada bangun ruang.3.Menentukan selisih dua vektor pada bangun ruang.4.Menentukan perbandingan vektor.5.Menentukan perkalianskalar dua vektor pada bangun ruang bila diketahui komponen-komponennya.6.Menentukak proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor Lain.B.Uraian MateriHasil Kali Vektor dengan Skalar pada BangunRuangSeperti telah Anda pelajari pada kegiatan pembelajaran 2, hasil kali vektor dengan skalar sekarang kita kembangkan pada bangun ruang. Andaakan menggunakan pemahaman Andatentang vektor dan skalar di kegiatan belajar ini. Vektor dapat dioperasikan dengan skalar. Karena skalar merupakan bilangan, maka perkalianvektor dengan skalar hanya akan berpengaruh pada besar vektor saja sedangkan arah vektor tetap.Hasil kali vektor 𝑢⃗dengan skalar 2 akan menghasilkan vektor dengan besar 2 kalinya sedangkan arahnya tetap. Secara umum, hasil kali vektor 𝑢⃗dengan skalar nakan menghasilkan vektor yang besarnya nkali besar 𝑢⃗dan arahnya sama dengan 𝑢⃗bila n positif dan berlawanan arah 𝑢⃗bila nnegatif.Jadi, hasil kali vektor 𝑢⃗=(𝑢1𝑢2𝑢3)dengan skalar nadalah n.𝑢⃗=𝑛.(𝑢1𝑢2𝑢3)=(𝑛.𝑢1𝑛.𝑢2𝑛.𝑢3)Contoh 1:Jika 𝑎=(23−1), maka 4.𝑎=4.(23−1)=(4.24.34.(−1))=(812−4)Jika 𝑣=3𝑖−2𝑗−7𝑘⃗, maka 3.𝑣=3(3𝑖−2𝑗−7𝑘⃗)=9𝑖−6𝑗−21𝑘⃗Penjumlahan Vektor pada BangunRuangPada dasarnya penjumlahan vektor pada bangun ruang sama dengan penjumlahan vektor pada bidang datar, menggunakan aturan segitiga atau aturan jajargenjang. Hanya saja komponen vektor yang ditambahkan menjadi lebih banyaksatu komponen.Secara umum jika dua vektor𝑎= 321aaadan vektor 𝑏⃗= 321bbbadalah vektor-vektor tidak nol, maka :

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN49𝑎+𝑏⃗= 321aaa+ 321bbb𝑎+𝑏⃗= +++332211bababaJika vektor 𝑎= a1𝑖+ a2𝑗+ a3𝑘⃗dan vektor 𝑏⃗= b1𝑖+ b2𝑗+ b3𝑘⃗, maka :𝑎+𝑏⃗= (a1+b1)𝑖+ (a2+b2)𝑗+ (a3+b3)𝑘⃗Contoh 2:Hitunglah jumlah dari dua buah vektor berikut.a.𝑎= −532dan𝑏⃗= −−241b.𝑎= 2𝑖+ 𝑗–4𝑘⃗dan 𝑏⃗= 3𝑖+ 5𝑗+ 𝑘⃗Alternatif Penyelesaian :a. 𝑎+ 𝑏⃗= −++−−+)2(543)1(2= 311b.𝑎+ 𝑏⃗= (2+3)𝑖+(1+5)𝑗+ (-4+1)𝑘⃗= 5𝑖+ 6𝑗–3𝑘⃗Contoh 3:Seorang pendaki gunung memulai pendakian gunung dari kaki gunung yang dapat dinyatakan sebagai posisi/koordinat O(0,0,0).Dari titik Opendaki gunung tersebut menuju lokasi Pyang berkedudukan 5 km ke arah timur, 4 km ke arah utara dan 3 km ke atas. Dari lokasi Pdia melanjutkan perjalanan ke lokasi Qyang berkedudukan 4 km ke arah timur, 1 km ke arah selatan dan 3 km ke atas. Di manakah kedudukan pendaki gunung tersebut apabila di lihat dari posisi mula-mula (lokasi O(0,0,0))?Alternatif penyelesaian:Darilokasi mula-mula ke lokasi Pdapat dinyatakan sebagai vektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗.Lokasi titik P adalah 5 km ke arah timur, 4 km ke arah utara dan 3 km ke atasdan dinyatakan dalam bentuk vektor kolom: 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗=(543). Dari lokasi Pke lokasi Qdapat dinyatakan sebagaivektor 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(4−13)Kedudukan pendaki gunung dilihat dari lokasi mula-mula adalah:𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑂𝑄⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗+𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=(543)+(4−13)=(936)Ini berartibahwa pendaki gunung tersebut terletak 9 km ke arah timur, 3 km ke arah utara, dan pada ketinggian 6 km dari kedudukan mula-mula.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN50ORTSmnGambar 4.1perbandingan vektorSelisih Dua Vektor pada BangunRuangSelisih atau pengurangan adalah lawan dari penjumlahan. Selisih dua vektor berarti menjumlahkan vektor pertama dengan lawan (negatif) vektor kedua. Dengan demikian: 𝑎−𝑏⃗=𝑎+(−𝑏⃗).Selisih dua vektor pada koordinat ruang Cartesius pada dasarnya sama dengan selisih vektor dua vektor pada koordinat bidang Cartesius, hanya saja komponen vektornya ada tiga.Secara umum selisih dua vektor jika dua vektor 𝑎= 321aaadan vektor 𝑏⃗= 321bbbmaka : 𝑎−𝑏⃗= 321aaa-321bbb= −−−332211bababaJika vektor 𝑎= a1𝑖+ a2𝑗+ a3𝑘⃗dan vektor 𝑏⃗= b1𝑖+ b2𝑗+ b3𝑘⃗, maka : 𝑎−𝑏⃗= (a1-b1)𝑖+ (a2-b2)𝑗+ (a3-b3)𝑘⃗Contoh 4:Hitunglah selisih dari dua vektor berikut :a. 𝑎= 768dan 𝑏⃗= 413b. 𝑎= 8𝑖+ 6𝑗+ 9𝑘⃗dan 𝑏⃗= 3𝑖+ 5𝑗+2𝑘⃗Alternatif Penyelesaian :a.𝑎−𝑏⃗= −−−471638= 355b.𝑎−𝑏⃗= (8-3)𝑖+ (6-5)𝑗+ (9-2)𝑘⃗= 5𝑖+ 𝑗+ 7𝑘⃗Perbandingan VektorAlif pergi dari rumahnya menuju sekolah dengan berjalan kaki melalui jalan lurus. Setelah berjalan mmeter Alif beristirahat sejenak dan untuk sampai ke sekolah dia harus melanjutkan nmeter lagi. Perbandingan jarak yang telah ditempuh oleh Alif dengan jarak yang belum ditempuhnya adalah m : n.Andaperhatikan gambar berikut.Misalkan posisi rumah Alif adalah R,posisi sekolah adalah S, Posisi Alif istirahat T.Posisi rumah (R), sekolah (S) dan tempat istirahat (T) dapat dinyatakan sebagai vektor posisi.Dari gambar diketahui 𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗:𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗=𝑚∶𝑛

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN51𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗=𝑚𝑛↔𝑛.𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗=𝑚.𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗𝑛(𝑡−𝑟)=𝑚(𝑠−𝑡)𝑛.𝑡−𝑛.𝑟=𝑚.𝑠−𝑚.𝑡𝑛.𝑡+𝑚.𝑡=𝑚.𝑠+𝑛.𝑟𝑡(𝑛+𝑚)=𝑚.𝑠+𝑛.𝑟𝑡=𝑚.𝑠+𝑛.𝑟𝑛+𝑚=𝑚.𝑠+𝑛.𝑟𝑚+𝑛Jadi,Jika R(x1, y1) dan S(x2, y2) di R2, maka: 𝑡=𝑚.𝑠+𝑛.𝑟𝑚+𝑛=𝑚(𝑥2𝑦2)+𝑛.(𝑥1𝑦1)𝑚+𝑛Koordinat titik Tadalah T(𝑚.𝑥2+𝑛𝑥1𝑚+𝑛,𝑚.𝑦2+𝑛𝑦1𝑚+𝑛)Jika R(x1,y1,z1) dan S(x2, y2, z2) di R3, maka: 𝑡=𝑚.𝑠+𝑛.𝑟𝑚+𝑛=𝑚(𝑥2𝑦2𝑧2)+𝑛.(𝑥1𝑦1𝑧1)𝑚+𝑛Koordinat titik Tadalah T(𝑚.𝑥2+𝑛𝑥1𝑚+𝑛,𝑚.𝑦2+𝑛𝑦1𝑚+𝑛,𝑚𝑧2+𝑛𝑧1𝑚+𝑛)Dalam perbandingan 𝑅𝑇⃗⃗⃗⃗⃗: 𝑇𝑆⃗⃗⃗⃗= m: n, terdapat dua kasus, yaitu:1.Titik Tmembagi RSdi dalam.R m T n SRT: TS= m:n2.Titik Tmembagi RSdi luar.mR S n TRT: TS= m: (–n)Contoh 5:Diketaui ruagaris𝐴𝐵̅̅̅̅dengan A(2, 3, 4) danB(6, 7, 8). Titik Tterletak pada 𝐴𝐵̅̅̅̅dengan perbandingan 1 : 3.Tentukan koordian titik Tjika:a.Tmembagi𝐴𝐵̅̅̅̅di dalamb.Tmembagi 𝐴𝐵̅̅̅̅di luar.Alternatif Penyelesaian:a.Titik Tmembagi 𝐴𝐵̅̅̅̅di dalam dengan perbandingan 1 : 3,berlaku𝐴𝑇̅̅̅̅: 𝑇𝐵̅̅̅̅= 1 : 3.Koordinat titik T dapat Anda tentukan dengan cara berikut.T(𝑚.𝑥2+𝑛𝑥1𝑚+𝑛,𝑚.𝑦2+𝑛𝑦1𝑚+𝑛,𝑚𝑧2+𝑛𝑧1𝑚+𝑛)→T(1.6+3.21+3,1.7+3.31+3,1.8+3.41+3)=(124,164,204)=(3,4,5)Jadi,koordinat titik Tjika membagi dari dalam adalah T(3, 4, 5)𝑡=𝑚.𝑠+𝑛.𝑟𝑚+𝑛

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN52𝛼𝑏⃗B(𝑏1,𝑏2,𝑏3)𝑎A(𝑎1,𝑎2,𝑎3)O𝑏⃗𝑎Ob.Titik Tmembagi 𝐴𝐵̅̅̅̅di dalam dengan perbandingan 1 : 3, berlaku𝐴𝑇̅̅̅̅: 𝑇𝐵̅̅̅̅= 1 : (–3)Koordinat titik T dapat Anda tentukan dengan cara berikut.T(𝑚.𝑥2+𝑛𝑥1𝑚+𝑛,𝑚.𝑦2+𝑛𝑦1𝑚+𝑛,𝑚𝑧2+𝑛𝑧1𝑚+𝑛)→T(1.6+(−3).21+(−3),1.7+(−3).31+(−3),1.8+(−3).41+(−3))=(0−2,−2−2,−4−2)=(0,1,2)Jadi,koordinat titik Tjika membagi dari dalam adalah T(0, 1, 2).PerkalianSkalar DuaVektorDua vektor bukan nolpada bangun ruang dapat dikalikan dan hasilnya merupakan scalar atau Perkalianvektor dengan vektor yang menghasilkan skalar..Hal ini sering disebut sebagai dot product (hasil kali titik) dari dua vektor dan dinyatakan 𝑎.𝑏⃗didefinisikan sebagai |𝑎|.|𝑏⃗|.𝑐𝑜𝑠𝜃dengan 𝜃sudut antara vektor 𝑎dan vektor 𝑏⃗seperti gambar berikut:𝜃Gambar 4.2Sudut antara dua vektorCobaAnda perhatikan vektor berikut.Gambar 4.3Sudut antara dua vektorDengan menggunakan aturan cosinus yang sudah Anda pelajari pada Matematika Umum, kita dapatkan:|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2=|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|2+|𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2−2.|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗||𝑂𝐵|cos𝛼=|𝑎|2+|𝑏⃗|2−2.|𝑎||𝑏⃗|cos𝛼(1)Berdasarkan rumus panjang vektor:|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2=|𝑏⃗−𝑎|2=(𝑏1−𝑎1)2+(𝑏2−𝑎2)2+(𝑏3−𝑎3)2=(𝑏12−2𝑏1𝑎1+𝑎12)+(𝑏22−2𝑏2𝑎2+𝑎22)+(𝑏32−2𝑏3𝑎3+𝑎32)=(𝑏12+𝑏22+𝑏32)+((𝑎12+𝑎22+𝑎32)−2𝑏1𝑎1−2𝑏2𝑎2−2𝑏3𝑎3=|𝑏⃗|2+|𝑎|2−2(𝑏1𝑎1+𝑏2𝑎2+𝑏3𝑎3)(2)Dari persamaan (1) dan (2) kita dapatkan:BA𝑎.𝑏⃗=|𝑎|.|𝑏⃗|𝑐𝑜𝑠𝜃

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN53|𝑎|2+|𝑏⃗|2−2.|𝑎||𝑏⃗|𝑐𝑜𝑠𝛼=|𝑏⃗|2+|𝑎|2−2(𝑏1𝑎1+𝑏2𝑎2+𝑏3𝑎3)−2.|𝑎||𝑏⃗|𝑐𝑜𝑠𝛼=−2(𝑏1𝑎1+𝑏2𝑎2+𝑏3𝑎3)|𝑎||𝑏⃗|𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑏1𝑎1+𝑏2𝑎2+𝑏3𝑎3𝑎.𝑏⃗=𝑏1𝑎1+𝑏2𝑎2+𝑏3𝑎3=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3Jadi,Contoh 6:Diketahui 𝑎= 6 dan 𝑏⃗= 5 dan sudut antara vektor 𝑎dan vektor 𝑏⃗adalah 60tentukan nilai 𝑎.𝑏⃗!Alternatif Penyelesaian:𝑎.𝑏⃗= 𝑎.𝑏⃗. cos = 6 . 5 . cos 60= 30 .12= 15Contoh 7:Diketahui vektor 𝑎= 2𝑖+ 3𝑗+ 6𝑘⃗dan 𝑏⃗= 𝑖+ 2𝑗⃗⃗+ 2𝑘⃗, tentukan Perkalian skalar vektor 𝑎dan 𝑏⃗.Alternatif penyelesaian:𝑎. 𝑏⃗= a1.b1+ a2.b2+ a3.b3= 2.1 + 3.2 + 6.2= 2 + 6 + 12 = 20Contoh 8:Diketahui 𝑎= 8dan 𝑏⃗= 4dan sudut antara vektor 𝑎dan vektor 𝑏⃗adalah 90tentukan nilai 𝑎.𝑏⃗!Alternatif Penyelesaian:𝑎.𝑏⃗= 𝑎.𝑏⃗. cos = 8. 4. cos 90= 32.0= 0Pada contoh soal 8sudut antara vektor 𝑎dan 𝑏⃗adalah 900, berarti vektor 𝑎dan 𝑏⃗saling tega lurus. Dengan demikian, dapat disimpulkan sebagai berikut.Dua buah vektor tegak lurus apabila hasil dot productkeduavektor bernilai nol.𝑎.𝑏⃗= 𝑎.𝑏⃗. cos 900= 𝑎.𝑏⃗. 0=0Jadi,jika vektor 𝑎= 321aaadan vektor 𝑏⃗= 321bbbsaling tegak lurus, maka:𝑎. 𝑏⃗= a1.b1+ a2.b2+ a3.b3= 0Kedua ruas dikurang |𝑎|2dan|𝑏⃗|2Kedua ruas dibagi (-2)Rumus ini berlaku juga untuk vektorpada bidang R2𝑎.𝑏⃗=|𝑎|.|𝑏⃗|𝑐𝑜𝑠𝜃𝑎. 𝑏⃗= a1.b1+ a2.b2𝑎.𝑏⃗=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN54Anda sudah paham Perkalian scalar dua vektor?Sekarang pemahaman akan kita perluas dengan mempelajari sudut antara dua vektor. Jika dua vektor 𝑎dan 𝑏⃗bertemu pada satu titik, maka sudut antara dua vektor tersebutadalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor 𝑎dan kaki vektor 𝑏⃗. Sudut yang diambil adalahsudut terkecil.Coba Anda perhatika rumus Perkalian scalar dua vektor berikut:𝑎.𝑏⃗=|𝑎||𝑏⃗|𝑐𝑜𝑠𝛼𝑎.𝑏⃗=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3Dari rumus di atas Anda dapat mencari sudut antara vektor 𝑎dan 𝑏⃗.𝑎.𝑏⃗=|𝑎||𝑏⃗|cos𝛼→cos𝛼=𝑎⃗.𝑏⃗|𝑎⃗|.|𝑏⃗|cos𝛼=𝑎.𝑏⃗|𝑎|.|𝑏⃗|=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3√𝑎12+𝑎22+𝑎32√𝑏12+𝑏22+𝑏32Contoh 9:Diketahui𝑎=(1−10)dan 𝑏⃗=(−122). Tentukan sudut antara 𝑎dan 𝑏⃗!Alernatif penyelesaian:Misalkansudut antara 𝑎dan 𝑏⃗adalah 𝛼.1.Jika sudut antara vektor 𝑎dan 𝑏⃗diketahui sama dengan 𝜃dan 00≤𝜃≤1800, maka: 𝑎.𝑏⃗=|𝑎|.|𝑏⃗|𝑐𝑜𝑠𝜃2.Jika sudut antara vektor 𝑎dan 𝑏⃗tidak diketahui, maka 𝑎. 𝑏⃗= a1.b1+ a2.b2+ a3.b33.Sifat-sifat perkalian vektor 𝑎,𝑏⃗dan𝑐berlaku:o𝑎.𝑏⃗=𝑏⃗.𝑎o𝑎.(𝑏⃗+𝑐)=𝑎.𝑏⃗+𝑎.𝑐o𝑎.𝑎=|𝑎|2oJika 𝑎≠0,𝑏⃗≠0,dan𝑎.𝑏⃗=0,maka𝑎⏊𝑏⃗

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN55Acos𝛼=𝑎.𝑏⃗|𝑎|.|𝑏⃗|=𝑎1𝑏1+𝑎2𝑏2+𝑎3𝑏3√𝑎12+𝑎22+𝑎32√𝑏12+𝑏22+𝑏32cos𝛼=1.(−1)+(−1).2+0.2√(1)2+(−1)2+02.√(−1)2+22+22=−3√2.√9=−33√2=−1√2=−12√2Diperoleh𝛼=1350Jadi, sudut antara 𝑎dan 𝑏⃗adalah 1350.Contoh 10:Diketahui vektor 𝑢⃗=2𝑖−𝑗+𝑘⃗dan 𝑣=𝑖+𝑗+2𝑘⃗, tentukan sudut antar vektor 𝑢⃗dan 𝑣.Alternatif Penyelesaian:Misalkansudut antara 𝑢⃗dan 𝑣adalah 𝛼.𝑢⃗=2𝑖−𝑗+𝑘⃗=(2−11)𝑣=𝑖+𝑗+2𝑘⃗=(112)cos𝛼=𝑢⃗.𝑣|𝑢⃗|.|𝑣|=2.1+(−1).1+1.2√22+(−1)2+12.√12+12+22=3√6√6=36=12cos𝛼=12→𝛼=600Jadi,sudut antara vektor 𝑢⃗=2𝑖−𝑗+𝑘⃗dan 𝑣=𝑖+𝑗+2𝑘⃗adalah 𝛼=600Proyeksi Ortogonal Suatu Vektor pada Vektor LainSelain menentukan besar sudut antara dua vektor, salah satu kegunaan dari Perkalianskalar dua vektor adalah untuk menentukan proyeksi ortogonal darisuatu vektor pada vektor lain.a.Proyeksi Skalar OrtogonalProyeksi skalar ortogonal biasanya disingkat dengan proyeksi skalar saja atau seringdikatakan dengan panjang proyeksi vektor.Misalkan proyeksi 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗pada 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗adalah 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.Perhatikan gambar berikut.β ˪Gambar 4.4Proyeksi scalar ortogonal|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑐|disebut proyeksi skalar orthogonal (panjang proyeksi) 𝑎pada 𝑏⃗.OBC

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN56Perhatikan segitiga AOB.Cos 𝛽=|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗||𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗|→|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|cos𝛽=|𝑎|𝑎.𝑏⃗|𝑎||𝑏⃗|=𝑎.𝑏⃗|𝑏⃗|Jadi,proyeksi skalar orthogonal (panjang proyeksi) vektor𝑎pada 𝑏⃗adalah:|𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝑐|=𝑎.𝑏⃗|𝑏⃗|b.Proyeksi Vektor ortogonalCoba Anda perhatikan kembali Gambar 4.4di atas. Vektor 𝑐searah vektor 𝑏⃗, ini berarti vektor satuan 𝑐sama dengan vektor satuan 𝑏⃗, yaitu 𝑏⃗|𝑏⃗|sehingga:𝑐=𝑎.𝑏⃗|𝑏⃗|.𝑏⃗|𝑏⃗|=𝑎.𝑏⃗|𝑏⃗|2.𝑏⃗Jadi,proyeksi vektor𝑎pada 𝑏⃗adalah:𝑐=𝑎⃗.𝑏⃗|𝑏⃗|2.𝑏⃗Contoh 11:Diketahui vektor 𝑎=(1−10)dan 𝑏⃗= (−122).Tentukanlah:a.Panjang proyeksi vektor 𝑎pada vektor 𝑏⃗b.Vektor proyeksi vektor 𝑎pada vektor 𝑏⃗Alternatif Penyelesaian:Misalkan vektorproyeksi vektor𝑎pada vektor𝑏⃗adalah vektor𝑐a.|𝑐|=𝑎⃗.𝑏⃗|𝑏⃗|=1.(−1)+(−1).2+0.2√(−1)2+22+22=|−3√9|=|−33|=|−1|=1b.𝑐=𝑎⃗.𝑏⃗|𝑏⃗|2.𝑏⃗=1.(−1)+(−1).2+0.2(√(−1)2+22+22)2.(−122)=−39(−122)=−13(−122)=(13−23−23)Jadi,vektor proyeksi vektor 𝑎pada vektor 𝑏⃗adalah 𝑐= (𝟏𝟑−𝟐𝟑−𝟐𝟑)

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN57C.Rangkuman❖Hasil kali vektor u⃗⃗⃗dengan skalar n akan menghasilkan vektor yang besarnya n kali besaru⃗⃗⃗⃗dan arah sama dengan u.⃗⃗❖Penjumlahandua vektor pada bangun ruang prinsipnya sama dengan penjumlahan dua vektor pada bidang datar.❖Selisih dua vektor berarti menjumlahkan vektor pertama dengan lawan (negatif) vektor kedua. Dengan demikian 𝑎–𝑏⃗= 𝑎+ (−𝑏⃗).❖Padakoordinat ruang Cartesius jika 𝑎=(𝑎1𝑎2𝑎3)dan 𝑏⃗=(𝑏1𝑏2𝑏3), maka:➢n.𝑎=𝑛.(𝑎1𝑎2𝑎3)=(𝑛.𝑎1𝑛.𝑎2𝑛.𝑎3)dan 𝑛.𝑏⃗=𝑛.(𝑏1𝑏2𝑏3)=(𝑛.𝑏1𝑛.𝑏2𝑛.𝑏3)➢𝑎+𝑏⃗= 321aaa+ 321bbb= +++332211bababa➢𝑎−𝑏⃗= 321aaa-321bbb= −−−332211bababa❖Jika titik Tmembagi RS̅̅̅̅di dalam, maka berlaku: RT̅̅̅̅: TS̅̅̅= m: n❖Jika titik Tmembagi RS̅̅̅̅di luar, maka berlaku: RT̅̅̅̅:TS̅̅̅= m: (–n)❖Jika R(x1, y1) dan S(x2, y2) di R2, maka: 𝑡=𝑚.𝑠+𝑛.𝑟𝑚+𝑛=𝑚(𝑥2𝑦2)+𝑛.(𝑥1𝑦1)𝑚+𝑛, dankoordinat titik Tadalah T(𝑚.𝑥2+𝑛𝑥1𝑚+𝑛,𝑚.𝑦2+𝑛𝑦1𝑚+𝑛)❖Jika R(x1, y1, z1) dan S(x2, y2, z2) di R3, maka: t=m.s⃗+n.r⃗m+n=m(x2y2z2)+n.(x1y1z1)m+n, dankoordinat titik Tadalah T(m.x2+nx1m+n,m.y2+ny1m+n,mz2+nz1m+n)❖Perkalian scalar antara dua vektor adalah Perkalian vektor dengan vektor yang menghasilkanscalar❖Rumus Perkalian scalar dua vektor berikut:a⃗.b⃗=|a⃗||b⃗|cosαa⃗.b⃗=a1b1+a2b2+a3b3❖sudut antara dua vektor tersebut adalah sudut yang dibentuk oleh kaki vektor a⃗dan kaki vektor b⃗Rumus sudut antara vektor a⃗dengan vektor b⃗adalah: cosα=a⃗.b⃗|a⃗|.|b⃗|=a1b1+a2b2+a3b3√a12+a22+a32√b12+b22+b32❖Proyeksi orthogonal (panjang proyeksi) vektor a⃗pada b⃗adalah:❖|OC⃗⃗⃗⃗⃗|=|c|=a⃗.b⃗⃗|b⃗⃗|❖Proyeksi vektor 𝑎pada 𝑏⃗adalah: 𝑐=𝑎⃗.𝑏⃗|𝑏⃗|2.𝑏⃗

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN58D.Latihan SoalKerjakan latihan soal berikut dengan jujur dan benar.1.Diketahui vektor 𝑎= −123, 𝑏⃗= −543dan 𝑐= −235. Tentukanlah :a.𝑎+ 𝑏⃗+ 2𝑐b.2𝑎+ 2𝑐c.5𝑎–3𝑐2.Diketahui 𝑎= 3𝑖–2𝑗+ 𝑘⃗dan 𝑏⃗=𝑖⃗+ 3𝑗–2𝑘⃗. Tentukanlah :a.𝑎+ 𝑏⃗b.𝑎–𝑏⃗c.–3𝑎+ 2𝑏⃗3.Hitunglah 𝑎. 𝑏⃗jika diketahui 𝑎= 3, 𝑏⃗= 4 dan sudut antara 𝑎⃗⃗⃗dan 𝑏⃗⃗⃗adalah 60!4.Diketahui vektor 𝑎= i –2j + 3k dan 𝑏⃗= 3i + j + 2k. Tentukanlah :a.𝑎. 𝑏⃗b.besar sudut antara 𝑎⃗⃗⃗dan 𝑏⃗5.Diketahui vektor 𝑎= 2i –3j +mk dan 𝑏⃗= 6i + 2j –4k. Tentukan nilai mjika 𝑎. 𝑏⃗= 10.6.Diketahui segitiga PQR dengan P(5, 1, 5), Q(1, 4, 5), dan R(3, 2, 1). Tentukanlah:a.panjang PRb.panjang PQc.panjang proyeksi PR pada PQd.proyeksi vektor PR pada PQ7.Diketahui vektor 𝑎=(2−12)dan 𝑏⃗=(4108). Tentukan nilai magar vektor (𝑎+𝑚𝑏⃗)tegak lurus pada vektor 𝑎8.Tentukanlah koordinat titik Pyang terletak pada ruas garis𝐴𝐵̅̅̅̅jika:a.A(2, 0, 1), B(10, 4, 5), dan 𝐴𝑃̅̅̅̅: 𝑃𝐵̅̅̅̅=3 : 1b.A(1, 1, 1), B(3, -2, 5), dan 𝐴𝑃̅̅̅̅: 𝑃𝐵̅̅̅̅=3 : -2

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN59Pembahasan Latihan Soal Kegiatan Pembelajaran 41.Diketahui vektor 𝑎= −123, 𝑏⃗= −543dan 𝑐= −235.(skor 15)a.𝑎+ 𝑏⃗+ 2𝑐=(3−21)+ (−345)+ 2.(5−32)=(10−1410)b.2𝑎+ 2𝑐=2.(3−21)+2.(5−32)=(16−106)c.5𝑎–3𝑐=5.(3−21)−3.(5−32)=(0−1−1)2.Diketahui 𝑎= 3𝑖–2𝑗+ 𝑘⃗dan 𝑏⃗=𝑖⃗+ 3𝑗–2𝑘⃗.(skor 15)a.𝑎+ 𝑏⃗=(3𝑖–2𝑗+ 𝑘⃗) +(𝑖⃗+ 3𝑗–2𝑘⃗) =(3𝑖+𝑖)+((−2𝑗+3𝑗)+(𝑘⃗+(−2𝑘⃗)=4𝑖+𝑗+(−𝑘⃗)=4𝑖+𝑗−𝑘⃗b.𝑎–𝑏⃗=(3𝑖–2𝑗+𝑘⃗)−(𝑖⃗+3𝑗–2𝑘⃗)=(3𝑖−𝑖)+((−2𝑗−3𝑗)+(𝑘⃗−(−2𝑘⃗)= 2𝑖–5𝑗+3𝑘⃗c.-3𝑎+ 2𝑏⃗=-3(3𝑖–2𝑗+𝑘⃗)+ 2(𝑖⃗+3𝑗–2𝑘⃗)=(−3𝑖⃗+6𝑗–3𝑘⃗)+(2𝑖⃗+6𝑗–4𝑘⃗)=−𝑖+12𝑗−7𝑘⃗3.Diketahui 𝑎= 3, 𝑏⃗= 4 dan sudut antara 𝑎⃗⃗⃗dan 𝑏⃗⃗⃗adalah 60!(skor 5)𝑎.𝑏⃗=𝑎.𝑏⃗.cos600𝑎.𝑏⃗=3.4.12=64.Diketahui vektor 𝑎= 𝑖–2𝑗+ 3𝑘⃗dan 𝑏⃗= 3𝑖+ 𝑗+ 2𝑘⃗(skor 10)a.𝑎.𝑏⃗=1.3+(−2).1+3.2=3−2+6=7b.Sudut antara vektor 𝑎dan𝑏⃗adalah β.Cos β = 𝑎⃗.𝑏⃗|𝑎⃗|.|𝑏⃗|=1.3+(−2).1+3.2√12+(−2)2+32√32+12+22=7√14√14=714=12𝛽=600Jadi,sudutantaravektor𝑎dan𝑏⃗adalah𝛽=6005.Diketahui vektor 𝑎= 2i–3j+mkdan 𝑏⃗= 6i+ 2j–4k(skor 10)𝑎. 𝑏⃗= 10𝑎. 𝑏⃗= 2.6 + (-3).2 + m.(–4) = 1012 –6 –4m= 10 ↔6 –4m= 10–4m= 4 m= –1 6.Diketahui segitiga PQR dengan P(5, 1, 5), Q(1, 4, 5), dan R(3, 2, 1). 𝑝,𝑞,dan𝑟merupakan vektor posisi dari titik P, Qdan R.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN60𝑝=(515), 𝑞=(145),𝑟=(321)(skor 20)a.panjang 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=|𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗|𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗=𝑟−𝑝=(321)−(515)=(−21−4)|𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗|=√(−2)2+12+(−4)2=√21b.panjang 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗=𝑞−𝑝=(145)−(515)=(−430)|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|=√(−4)2+32+02=√16+9+0=√25=5c.Misalkan vektor proyeksi 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗pada 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗adalah 𝑐|𝑐| = 𝑃𝑅.⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|=(−2).(−4)+1.3+(−4).(0)5=8+3+05=115=115d.vektor proyeksi 𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗pada 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗𝑐=𝑃𝑅⃗⃗⃗⃗⃗.𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗⃗|=115(−430)5=1125(−430)=(−442533250)7.Diketahui vektor 𝑎=(2−12)dan 𝑏⃗=(4108).(skor 15)Vektor (𝑎+𝑚𝑏⃗)tegak lurus pada vektor𝑎𝑎+𝑚𝑏⃗=(2−12)+𝑚(4108)=(2+4𝑚−1+10𝑚2+8𝑚)(𝑎+𝑚𝑏⃗).𝑎=0(2+4𝑚−1+10𝑚2+8𝑚).(2−12)=(2+4𝑚).2+(−1+10𝑚)(−1)+(2+8𝑚).2=04+8m+ 1 –10m+ 4 + 16 m= 014m+ 9 = 014m= –9m= −9148.a. A(2, 0, 1), B(10, 4, 5), dan 𝐴𝑃̅̅̅̅: 𝑃𝐵̅̅̅̅= 3 : 1(skor 10)P(𝑚.𝑥2+𝑛𝑥1𝑚+𝑛,𝑚.𝑦2+𝑛𝑦1𝑚+𝑛,𝑚𝑧2+𝑛𝑧1𝑚+𝑛)𝑃(3.10+1.23+1,3.4+1.03+1,3.5+1.13+1)=(424,124,164)=(13,3,4)Jadi,koordinattitik𝑃(13,3,4)b.A(1, 1, 1), B(3, -2, 5), dan 𝐴𝑃̅̅̅̅: 𝑃𝐵̅̅̅̅= 3 : -2P(𝑚.𝑥2+𝑛𝑥1𝑚+𝑛,𝑚.𝑦2+𝑛𝑦1𝑚+𝑛,𝑚𝑧2+𝑛𝑧1𝑚+𝑛)𝑃(3.3+(−2).13+(−2),3.(−2)+(−2).13+(−2),3.5+(−2).13+(−2))=(71,−81,131)=(7,−8,13)Jadi,koordinattitik𝑃(7,−8,13)Skor maksimum : 100

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN61Untuk mengetahui tingkat penguasaan Kalian, cocokkan jawaban dengan kunci jawaban. Hitung jawaban benar Kalian, kemudian gunakan rumus dibawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Kalian terhadap materi kegiatan pembelajaran ini. Rumus Tingkat penguasaan=𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ𝑠𝑘𝑜𝑟𝑚𝑎𝑘𝑠𝑖𝑚𝑢𝑚𝑥100%Kriteria 90% –100% = baik sekali 80% –89% = baik 70% –79% = cukup < 70% = kurang Jika tingkat penguasaan Kalian cukup atau kurang, maka Kalian harus mengulang kembali seluruh pembelajaran. E.Penilaian DiriIsilah pertanyaan pada tabel di bawah ini sesuai dengan yang Andaketahui, berilah penilaian secara jujur, objektif, dan penuh tanggung jawab dengan memberi tanda centang pada kolom pilihan.No.Kemampuan DiriYaTidak1.Saya sudahmemahami Perkalian scalar dengan Vektorpada R3. 2.Saya sudah dapat memahamipenjumlahan vektor pada R3.3.Saya sudahdapat memahami selisih duavektor pada R3.4.Saya sudah memahami perbandingan vektor5.Saya sudahdapat memahami Perkalian scalar dua vektor.6.Saya sudah bisamemahamisudut antaradua vektor,7.Saya sudahmemahamiproyeksi orthogonal dua vektor8.Saya sudah dapat menentukan vektor proyeksi orthogonal dua vektorCatatan:Bila ada jawaban "Tidak", maka segera lakukan review pembelajaran, Bila semua jawaban "Ya", maka Anda dapat melanjutkan ke pembelajaran berikutnya.

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN62EVALUASIPilihlah satu jawaban yang paling tepat.1.Diketahui vektor 𝑎= −55dan 𝑏⃗= 12, maka komponen vektor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗adalah ....A.(72)B.(3−4)C.(−72)D.(−36)E.(34)2.Pada kubus ABCD.EFGH manakah diantara vektor berikut ini yang sama dengan 𝐻𝐹⃗⃗⃗⃗⃗A.𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.𝐷𝐹⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗E.𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗3.Pada gambar jajaran genjang di bawah, hasil dari ℎ⃗−𝑔+𝑐adalah....A.𝑏⃗B.𝑎C.𝑑D.𝑒E.𝑓4.Pada persegi panjang OACB, Dadalah titik tengah OAdan Padalah titik potong CDdengan diagonal AB. Jika →a= →OAdan →b= →OB, maka →CP= .... A.→a31+ →b32B.→a31–→b32C.–→a31–→b32D.–→a31+ →b32E.–→a32–→b31

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN635.Diketahui vektor 𝑎= 5i –3j + 2k, maka panjang vektor 𝑎adalah ....A.3B.4C.√20D.5E.√386.Jika A = (5 , -3 , 2) dan B = (1 , 5 , -2) maka komponen vektor𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗adalah ....A.026B.−−026C.−484D.−−484E.−4847.Jika diketahui 𝑎= −012dan 𝑏⃗= −121maka 2𝑎+ 3𝑏⃗adalah ....A.341B.347C.−321D.135E.3148.Jika diketahui vektor =→a→→→+−kji24dan =→b→→→−−kji524, maka panjang vektor →a–2→b= ...A.55B.11C.211D.29E.109

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN649.Pada segitiga ABC, diketahui A(-2, 2, -5), B (3, -8, 5) dan C(-1, -3, 0). Titik Q pada 𝐴𝐵̅̅̅̅sehingga 𝐴𝑄̅̅̅̅: 𝑄𝐵̅̅̅̅= 3 : 2. Komponen vektor 𝐶𝑄⃗⃗⃗⃗⃗adalah ....A.(7−55)B.(2−51)C.(−575)D.(0−15)E.(2−11)10.Diketahui segitiga ABCdengan A(1, 4, 6), B(1, 0,2), dan C(2, –1, 5). Titik Pterletak pada perpanjangan ABsehingga AP: BP= 3 : 1. Panjang vektor yang diwakili oleh →PCadalah..A.33B.13C.3D.35E.4311.Diketahui 𝑎= 2i –3j + 4k dan 𝑏⃗= i + 2j –3k, maka 𝑎. 𝑏⃗adalah ....A.–18B.–16C.–12D.10E.18 12.Apabila diketahui 𝑎= 2 dan 𝑏⃗= 6 serta sudut antara 𝑎dan 𝑏⃗adalah 60 maka 𝑎. 𝑏⃗= ....A.–6B.6C.12D.14E.16 13.Diketahui vektor 𝑎= 231dan 𝑏⃗= −135, maka 𝑎.𝑏⃗= ....A.–6B.6C.8D.10E.12

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6514.Diketahui koordinat A(6, -2, -6), B(3, 4, 6) dan C(9, x, y). Jika titik-titik A, Bdan Ckolinear(segaris), maka nilai x–ysama dengan ....A.–18B.4C.6D.10E.1815.Diketahui vektor 𝑎= 2i -3j + 5k dan vektor 𝑏⃗= -3i -5j + 2k . Jika θ adalah sudut antara 𝑎dan 𝑏⃗, maka nilai tan θ adalah ....A.−12√3B.−13√3C.13√3D.√3E.12√316.Diketahui koordina titik O(0, 0), A(1, 2) dan B(4, 2). 𝛼merupakan sudut antara vektor 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗dan 𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗. tan 𝛼=....A.43B.34C.35D.916E.61317.Diketahui vektor kjxixa826−+=, kjib1084++−=, dan kjic532−+−=. Jika vektor ategak lurus b, maka vektor ....=−caA.kji32058−−−B.kji32358−−−C.kji32062−−−D.kji32362−−−E.kji32362−−−18.Vektor adanbvektor membentuk sudut . Diketahui a= 6, b= 15, dan cos = 0,7; maka nilai ()....=+baaA.49B.89C.99D.109E.115

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6619.Diketahui𝑎=−122dan𝑏⃗=−312p. Jika kosinus sudut antara vektor 𝑎dan 𝑏⃗adalah 31, nilai padalah....A.4 atau 24B.−4 atau −24C.2 atau 14 D.−4 atau −12 E.−4 atau 1420.Diketahui |a|, |b|, dan |a–b| berturut-turut adalah 4, 6 dan 219. Nilai |a+ b| = ....A.419B.19C.47D.27E.21721.Diketahui |→a| = 2, |→b| = 9, dan |→a+ →b| = 5Besar sudut antara vektor →adan vektor →badalah A.45oB.60oC.120oD.135oE.150o22.Diketahui vektor 𝑎=kji443−−, 𝑏⃗=kji32+−, dan 𝑐=kji534+−. Panjang proyeksi vektor (𝑎+𝑏⃗)pada 𝑐adalah....A.23B.24C.25D.26E.2723.Vektor 𝑐adalah proyeksi 𝑎⃗⃗⃗dan 𝑏.⃗⃗⃗Jika 𝑎=(21)dan 𝑏⃗=(34), maka 𝑐= .....A.15(34)B.25(34)C.45(34)D.225(34)E.125(34)

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN6724.Diketahui panjang vektor proyeksi 𝑎=−482pada vektor 𝑏⃗=40padalah 8. Nilai dari p=....A.–4B.–3C.3D.4E.625.Ditentukan koordinat titik-titik A(−2,6,5); B(2,6,9); C(5,5,7). AP: PB= 3 : 1 dan titik Pterletak pada AB. Panjang proyeksi 𝑃𝐶⃗⃗⃗⃗⃗pada 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗adalah....A.223B.232C.22D.23E.323

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN68KUNCI JAWABAN EVALUASI1.D2.C3.A4.C5.E6.D7.A8.A9.E10.A11.B12.B13.B14.D15.D16.B17.B18.C19.A20.D21.D22.B23.C24.C25.A

Modul Matematika Peminatan Kelas X KD 3.2@2020, Direktorat SMA, Direktorat Jenderal PAUD, DIKDAS dan DIKMEN69DAFTAR PUSTAKAAnwar, Cecep. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 3. Pusat Perbukuan Depatemen Pendidikan Nasional:Jakarta.Edwin J. Purcell, Dale Varberg, 1984. Kalkulus dan GeometriAnalitis(terjemahan I Nyoman Susila dkk).Erlangga:Jakarta.Leonard I. Holder, James DeFranza, Jay M. Pasachoff, 1988. Multivariabel Calculus,Brooks/Cole Pub. Co.:California.Noormandiri,B.K. dan Endar Sucipto.1994. Matematika SMU untuk kelas 3Program IPA,PenerbitErlangga:JakartaRaharjo, Marsudi. 2009. Vektor. PPPPTK Matematika:Yogyakarta.Wirodikromo, S. 2006. Matematika Untuk SMA Kelas XII Program Studi Ilmu Alam. Penerbit : Erlangga, Jakarta.